05. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются Независимыми относительно события А.

Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рт, п того, что в результате П испытаний событие А наступило ровно Т раз.

Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик)

Пусть в результате П независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие с вероятностью .

Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером I. Т. к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны.

Если в результате П опытов событие А наступает ровно Т раз, то остальные П-т раз это событие не наступает. Событие А может появиться Т раз в П испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из П элементов по Т. Это количество сочетаний находится по формуле:

Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем Формулу Бернулли:

Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т. е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей.

Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.

Т. к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в Т испытаниях событие в вероятностью Р наступает ровно П раз.

В случае пяти попаданий из пяти возможных:

Четыре попадания из пяти выстрелов:

Три попадания из пяти:

Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:

< Предыдущая		Следующая >