52. Линейные пространства

В дальнейшем мы будем говорить о множестве некоторых элементов произвольной природы, для которых определены некоторые операции, подчиняющиеся определенным ограничениям, называемым аксиомами.

Такие множества называются пространствами, а их элементы – точками или векторами. Однако подчеркнем, что «векторы» таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с векторами, изучаемыми в геометрии. Элементами пространства могут быть функции, матрицы, системы чисел и т. д., а в частном случае и обычные векторы.

В дальнейшем из всех пространств мы выделим для изучения так называемые линейные пространства, обладающие целым рядом общих свойств, которые и будут установлены далее.

Прежде всего, определим числовое поле. Числовым полем К называется множество чисел a, b, g, ... , если для любых a и b из множества К числа a + b, ab, a - b, a / b также принадлежат этому множеству. Т. е. Множество чисел, замкнутых относительно арифметических операций. Например, множество чисел вида a + bÖ2, где a и b любые рациональные числа образуют поле, а если A и B – целые числа, то поля не образуются. Действительно, рассмотрим, например, операцию a / b: a = a + bÖ2 b = c + dÖ2

Отсюда видно, что если A, B, C, D – целые числа, то выражения - вовсе не целые!

Теперь, наконец, Определим линейное пространство. Линейным или афинным пространством над числовым полем K называется множество R элементов, которые будем называть векторами и обозначать x; y; z, ... , если:

1). Указан закон, согласно которому любой паре векторов x Î R (значок Î означает, что х – элемент множества R) и y Î R однозначно ставится в соответствие вектор z Î R, также принадлежащий множеству R. Вектор z называется суммой векторов x и y и обозначается z = x + y;

2). Указан закон, согласно которому каждому числу l из поля K и любому вектору x Î R однозначно ставится в соответствие вектор z Î R. Вектор z называется произведением вектора X на число L и обозначается Z = L X = X L;

3). Введение в этих двух пунктах операции сложения и умножения удовлетворяют следующим восьми аксиомам:

10. X + Y = Y +X переместительный закон

20. (X + Y) + Z = X + (Y + Z) сочетательный закон

30. Существует нулевой элемент 0 такой, что X + 0 = X для любого элемента X Î R или: $ 0 Î R | " X Î R ( X + 0 = X )

40. Для каждого элемента X существует противоположный элемент X’ такой, что X + X’ = 0. Вектор X’ называется противоположным вектору X и обозначается –X или: " X Î R $ (-X) Î R | X + ( - X) = 0.

50. 1 * X = X для каждого элемента X: " X Î R (1 * X = X) – это существование единичного элемента.

60. L ( M X ) = ( L M ) X – сочетательное свойство относительно числового множителя.

70. ( L + M ) X = L X + M X – распределительное относительно суммы числовых сомножителей.

80. L ( X + Y ) = L X + M Y – распределительное относительно суммы элементов.

Следует подчеркнуть, что в определении линейного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения L X.

Примеры линейных пространств:

1. множество всех свободных векторов. Операции сложения и умножения векторов определены в аналитической геометрии. Элементарно можно проверить справедливость всех аксиом 10- 80. Т. е. множество всех свободных векторов является линейным пространством. Будем обозначать его V3. Аналогичные линейные пространства на плоскости и на прямой будем обозначать V2 и V1 соответственно.

2. Множество An, элементами которого служат упорядоченные совокупности n произвольных вещественных чисел (x1, x2, ... , xn). Элементы этого множества мы будем обозначать x = (x1, x2, ... , xn) и называть числа x1, ... , xn – координатами элемента x. В анализе множество An обычно называют n – мерным координатным пространством. В алгебраической трактовке – это совокупность всевозможных строк, каждая из которых содержит n вещественных чисел. Если определить операцию сложения и умножения как:

(x1 x2 ... xn) + (y1 y2 ... yn) = (x1+ y1; x2+ y2; ... ; xn+ yn)

L (X1 X2 ... Xn) = (L X1 L X2 ... L Xn)

То можно убедиться в справедливости всех восьми аксиом.

3. Множество всех многочленов степени, не превосходящей N. В этом пространстве вектор x имеет вид:

X = A0 Tn + A1 Tn-1 + ... + An

Обратим внимание, что множество всех многочленов степени строго N не является линейным пространством. Действительно, если X = A0 Tn + A1 Tn-1 + ... + An , а у есть y = -A0 Tn + A1 Tn-1 + ... + An , то X + Y = 2 A1 Tn-1 + ... + 2 An – многочлен, степени ниже n!

4. Множество С [a, b] всех функций x = x (t), определенных и непрерывных на сегменте A £ T £ B. Операции сложения и умножения на число определены обычными правилами математического анализа. Легко видеть справедливость аксиом 10- 80.

Будем называть Вещественным линейным пространством пространство, определенное над вещественным полем числом K. При более широком подходе можно брать числа L Из комплексного поля. В таком случае придем к понятию комплексного линейного пространства.

< Предыдущая		Следующая >