11. Линии параболического типа

Пусть КВП задана уравнением вида (1) и является кривой

Параболического типа, т. е. I2=О. Тогда I1О. Действительно,

Если I1=а11+a22=О, то I12=а112+а222+2a11a22=О, т. е.

(*)

Так как I2=a11a22—а122=О, то из (*) следует, что -(a112/2) -(а222/2)=а122.. Значит, a11=a22=a12=0 – противоречие с тем, что уравнение (1) — уравнение кривой второго порядка.

Заметим, что если в уравнении (1) а12О, то путем поворота системы координат 0ХУ можно придти к уравнению вида (14)

Так как I1=а'11+а22О, I2=a'11а'22=О, то один из коэффициентов a'11 и а'22 равен нулю, а другой не равен нулю.

Будем считать, что а'11=О, а'220 (случай а'11О, a'22=0

Рассматривается аналогично). Тогда I1=a'22 и уравнение (14)

Можно записать так:

(25)

Осуществим теперь параллельный перенос:

, т. е.

. (26)

Тогда x"=x' и у"=у'+а'23/I1. Значит, в новой системе координат

О"Х"У" уравнение КВП примет вид:

(27)

Где

Теорема. Пусть уравнение (1) — есть уравнение параболического типа. Тогда при I30 это уравнение параболы, а при I3=0 — это уравнение либо пары параллельных действительных прямых, либо пары мнимых параллельных прямых.

Доказательство. Итак, для уравнения (1)

(28)

Так как I1О, то при I30 следует, что а"13О, а при I3=0 получаем, что а"13=О. Тогда уравнение (27) можно записать так

при I3О, (29)

при I3=О, (30)

Очевидно, что уравнение (29) — уравнение параболы. Чтобы

Оно стало каноническим, достаточно осуществить параллельный перенос системы координат 0"Х"У":

Y"=Y;

И обозначить – А"13/I1=р. Тогда в системе координат ОХУ получаем уравнение

У2 = 2рХ.

Уравнение (30) можно записать так:

(31)

Тогда, если a"33/I1<0, то из (31) получаем

– пара параллельных прямых: и

Если же а"33/I1>0, то уравнению (31) не удовлетворяют

Координаты ни одной точки плоскости, т. е. геометрический образ является мнимым. Поэтому и говорят, что в атом случае получаем пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.

< Предыдущая