1.16. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины

1. Математическое ожидание неизменной (постоянной) величины С Равно самой этой постоянной:

М(С)=С (1.5)

Доказательство. Постоянная величина С Принимает единственное значение (значение С) с вероятностью, равной единице. Следовательно, считая постоянную величину С частным случаем дискретной случайной величины Х, будем иметь такой закон её распределения:

С
Р	1

Отсюда М(С)=С·1=С. Доказательство закончено. Отметим, что этот вывод полностью согласуется и со смыслом математического ожидания случайной величины как её среднего значения: среднее значение неизменной величины С равно ей самой.

2. Постоянный множитель (константу) можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=С·М(Х) (1.6)

Доказательство. Пусть Х – дискретная случайная величина с законом распределения (1.1), и пусть С – любая константа. Тогда С·Х также будет дискретной случайной величиной со следующим законом распределения:

СХ	СХ1	СХ2	…	СХN	(1.7)
Р	Р1	Р2	…	РN

Действительно, умножая случайную величину Х На множитель С, мы тем самым умножаем на С все её возможные значения (Х1; х2; … хN). А вероятности значений (СХ1; СХ2; … СХN) величины СХ совпадают с вероятностями значений (Х1; х2; … хN) величины Х, ибо величина СХ примет значение СХк (К=1, 2, … N) тогда и только тогда, когда величина Х примет значение Хк (К=1, 2, … N). Но тогда из (1.7) следует:

Доказательство закончено. И смысл доказанного свойства (1.6) понятен: если изменить (увеличить или уменьшить) в С раз все возможные значения случайной величины Х, то в это же число раз изменится и её среднее значение.

3. Математическое ожидание суммы любых двух дискретных случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий:

М(X+Y)=M(X)+M(Y) (1.8)

Доказательство. Пусть

Х	Х1	X2	…	ХN		Y	Y1	Y2	…	Ym	(1.9)
Р	Р1	Р2	…	Pn	Q	Q1	Q2	…	Qm

- законы распределения некоторых двух дискретных случайных величин X и Y. Составим закон распределения новой случайной величины Z=X+Y – суммы величин X И Y. В качестве своих возможных значений величина Z=X+Y будет принимать все возможные суммы вида Xi+Yj (I=1, 2,… N; J=1, 2,… M), а вероятности этих значений, нам неизвестные, будем обозначать символами Pij. Итак, закон распределения суммы Z=X+Y примет вид:

X+Y	Xi+yj	(1.10)
P	Pij

Тогда, следуя формуле (1.4), получаем:

(1.11)

=| учтем, что ; -

- продумайте это, опираясь на формулу (4.10) главы 1, самостоятельно | =

Доказательство закончено. Из доказанного свойства (1.8) следует, что и математическое ожидание суммы нескольких дискретных случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Например, для трех слагаемых получаем:

(1.12)

И вообще:

(1.13)

- для любых дискретных случайных величин (Х1; Х2; … Хр).

4. Математическое ожидание разности любых двух дискретных случайных величин X и Y равно разности их математических ожиданий:

(1.14)

Доказательство. Оно непосредственно вытекает из уже доказанных свойств (1.6) и (1.8):

И вообще, из доказанных выше свойств вытекает, что математическое ожидание любой линейной комбинации С1Х1+С2Х2+…+СрХр любых дискретных случайных величин (Х1; Х2; … Хр), где (С1; С2; … Ср) – любые числовые множители, находится по формуле:

(1.15)

5. Математическое ожидание произведения двух дискретных случайных величин X и Y, Если эти величины независимы, равно произведению их математических ожиданий:

(1.16)

Доказательство. Пусть таблицы (1.9) представляют собой законы распределения двух независимых случайных величин X и Y. Их независимость означает, что в испытании эти величины принимают свои возможные значения вне всякой связи друг с другом (независимо друг от друга). Составим закон распределения дискретной случайной величины Z=XY. В качестве своих возможных значений величина Z=XY Будет принимать все возможные произведения вида , а вероятности этих значений, по формуле умножения вероятностей независимых событий (формула (4.7) главы 1), будут равны . Таким образом, закон распределения дискретной случайной величины Z=XY будет выглядеть следующим образом:

XY
P

(1.17)

Отсюда:

(1.18)

Доказательство закончено. Из доказанного свойства (1.16) следует, что и математическое ожидание произведения нескольких Взаимно независимых случайных величин (Х1; Х2; … Хр) равно произведению их математических ожиданий:

(1.19)

Доказательство этого проводится аналогично доказательству равенства (1.13).

Перейдем теперь к вопросу о том, как охарактеризовать степень разброса возможных значений (Х1; х2; … хN) дискретной случайной величины Х Вокруг её математического ожидания (вокруг её среднего значения) .

На первый взгляд может показаться, что для оценки указанного разброса следует вычислить все возможные отклонения значений случайной величины Х От её М(Х), то есть вычислить разности

; ; ……

И найти, с учетом вероятностей (Р1; р2; … рN) этих разностей, их среднее значение. То есть найти . Однако такой путь ничего не дает, так как эта величина всегда равна нулю:

(1.20)

Этот результат объясняется тем, что одни возможные отклонения Х от М(Х) положительны, другие отрицательны, так что их среднее значение в результате их взаимного погашения равно нулю. Это обстоятельство указывает на целесообразность замены отклонений их абсолютными величинами или их квадратами . Первый из этих вариантов предполагает оперирование с абсолютными величинами (модулями), что не очень удобно. Поэтому общепринятым является второй путь. А именно, вычисляют - среднее значение квадрата отклонения величины Х от её среднего значения М(Х), которое называют Дисперсией Величины Х. А затем, извлекая квадратный корень из дисперсии , находят среднее отклонение Х от М(Х) уже без квадрата этого отклонения. В нем знак отклонения Х от М(Х) уже не учитывается (этот знак всегда плюс).

Указанный называется Средним квадратическим отклонением Случайной величины Х и обозначается символом σ(Х). Величина σ(Х) показывает, на сколько В среднем отклоняется Х от М(Х), если не учитывать знак отклонения Х от М(Х). Итак,

=; = (1.21)

- Дисперсия и среднее квадратическое отклонение σ(Х) величины Х.

Обе эти величины характеризуют степень разброса значений величины Х вокруг её среднего значения М(Х).

Действительно, чем сильнее разбросаны значения Х Вокруг М(Х), тем больше числовые значения отклонений Х от М(Х). А значит, тем больше квадраты этих отклонений. Но тогда тем больше среднее значение квадратов этих отклонений. То есть тем больше дисперсия случайной величины Х. А значит, тем больше и среднее квадратическое отклонение σ(Х) величины Х. А чем меньше разброс значений случайной величины Х вокруг её математического ожидания М(Х) (то есть чем кучнее они вокруг М(Х) расположены), тем меньше величины и σ(Х).

Из этих двух числовых характеристик случайной величины Х важнейшей является σ(Х) в силу её наиболее ясного смысла (σ(Х) – это среднее отклонение Х от М(Х) без учета знака этого отклонения). А дисперсия является вспомогательной величиной, по которой затем определяется среднее квадратическое отклонение σ(Х).

Если (1.1) – закон распределения дискретной случайной величины Х, то случайная величина имеет, очевидно, следующий закон распределения:

			…		(1.22)
			…

И тогда, согласно определению (1.21) дисперсии И формуле (1.4), получаем следующую формулу для практического подсчета дисперсии :

(1.23)

Исходя из определения дисперсии (1.21), для её практического вычисления можно получить и другую, так называемую Упрощенную, формулу. Используя свойства математического ожидания, получим:

(1.24)

Итак,

(1.25)

- Упрощенная формула для дисперсии . Читается эта формула так: Дисперсия дискретной случайной величины Х равна математическому ожиданию квадрата этой величины минус квадрат её математического ожидания. При этом:

; (1.26)

После вычисления дисперсии находится и σ(Х)= - среднее квадратическое отклонение величины Х.

Для сравнения σ(Х) с М(Х) вводится величина

(1.27)

Которая называется Коэффициентом вариации Величины Х. Она показывает, какую долю в процентах составляет для случайной величины Х Её среднее отклонение от среднего по отношению к самому среднему.

Пример 2. дискретная случайная величина Х имеет следующий закон распределения:

Х
P

Найти её числовые характеристики М(Х); D(Х); σ(Х); V(X)%.

Решение.

1) Найдем М(Х). Используя формулу (1.4), получим:

.

2) Найдем D(Х). Используя основную формулу (1.23), получаем:

D(Х)=;

Заметим, что то же самое значение D(Х)=5 мы получим, если используем упрощенную формулу (1.25) и выражения (1.26):

M(X)=; M(X2) =; D(Х)=

3) Найдем σ(Х):

.

4) Найдем V(X)%:

.

Таким образом, среднее значение XСр данной случайной величины Х равно М(Х)=2. То есть принимая три возможных значениях (0; 3; 6), случайная величина Х В среднем принимает значение 2. Найденное значение не совпадает со средним арифметическим этих чисел (с 3) и оказалось ближе к 0, нежели к 6. Это произошло потому, что вероятность значения 0 гораздо больше вероятности Значения 6. А это значит, что при повторных испытаниях значение 0 будет встречаться гораздо чаще (втрое чаще), чем значение 6. Поэтому и среднее из значений, принимаемых случайной величиной Х, будет сдвинуто от среднего арифметического (от числа 3) в сторону нуля. Точно так же средний балл аттестата зрелости выпускника школы ближе к трем, чем к пяти, если в этом аттестате больше троек, чем пятерок.

Далее, среднее отклонение σ(Х) величины Х от её среднего значения М(Х)=2 оказалось равным ≈2,236. И это тоже хорошо объяснимо. Действительно, у случайной величины Х три возможных значения (0; 3; 6) при Хср=М(Х)=2. Отклонения этих значений от их среднего значения Хср =2 составляют (без учета знака отклонения) соответственно (2; 1; 4). Из этих трех отклонений средним оказалось σ(Х)≈2,236. Оно наиболее близко к 2, то есть наиболее близко к отклонению значения 0 от Хср =2. И это оправдано, так как значение 0 величины Х при повторных испытаниях будет встречаться чаще других значений.

Наконец, величина коэффициента вариации величины Х показывает, что σ(Х)≈2,236 (среднее отклонение от среднего) по отношению к М(Х)=2 (к самому среднему) составляет ≈112%.

< Предыдущая		Следующая >