03. Оптимальное смешение

Цели

В данной главе показаны возможности использования Модели линейного программирования для решения задач оптимального сме­шения. Наряду с рассмотренной в главе 1 задачей планирования производства это одна из наиболее известных областей приложе­ния модели линейного программирования. Модели оптимально­го смешения имеют много общего с моделями оптимального пла­нирования производства. В то же время существуют и некоторые особенности.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эконо­мического анализа следующие понятия:

• смесь;

• ингредиент смеси;

• компонент смеси;

• рецепт смешения.

Модели

Важный класс прикладных оптимизационных задач образуют задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе наилучшего способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна иметь требуемые свой­ства, которые определяются количеством компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Как правило, известны стоимост­ные характеристики ингредиентов и искомую смесь требуется получить с наименьшими затратами. Для многопродуктовых за­дач, в которых требуется получить несколько смесей, характерным является критерий максимизации прибыли.

Задачи оптимального смешения встречаются во многих отрас­лях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая про­мышленность, фармакология, сельское хозяйство). Примерами задач о смесях могут служить определение кормового рациона скота на животноводческих фермах, составление рецептуры ших­ты на металлургическом производстве и т. п.

Рассмотрим сначала Однопродуктовые модели оптималь­ного смешения.

Введем обозначения:

П — количество исходных ингредиентов;

Т — количество компонентов в смеси;

ХJ — количество J-го ингредиента, входящего в смесь;

АIj —количество I-го компонента в J-м ингредиенте;

СJ —стоимость единицы J-го ингредиента;

Bi — количество I-го компонента в смеси.

Модель А:

Здесь (1) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(2)— группа ограничений, определяющих содержание ком­понентов в смеси;

(3) — ограничения на неотрицательность переменных.

В задаче могут присутствовать также ограничения на общий объем смеси и ограничения на количество используемых ингре­диентов. Эти группы ограничений, а также ограничения (2) ха­рактерны для задачи планирования производства, рассмотренной в главе 1.

Введем обозначения:

П — количество исходных ингредиентов;

Т — количество компонентов в смеси;

W — количество условий, отражающих содержание J-го ингре­диента в смеси;

ХJ — количество J-Го ингредиента, входящего в смесь;

АIj — доля J-го компонента в J-м ингредиенте;

Bi — минимально допустимая доля I-го компонента в смеси;

СJ — стоимость единицы J-го ингредиента;

Drj — коэффициент, отражающий R-е условие на содержание J-го ингредиента в смеси.

Модель В:

Здесь (4) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(5) — группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(6) — группа ограничении на содержание ингредиентов в смеси;

(7) — ограничение на количество смеси;

(8) — ограничения на неотрицательность переменных.

Ограничения (5) и (6) отличают задачу смешения от задачи оптимального планирования производства. Заметим, что значения правых частей этих ограничений равны нулю. Вектор х* с компо­нентами, являющийся решением этой оптимизационной зада­чи, называют рецептом приготовления смеси или рецептом сме­шения.

В Многопродуктовых задачах ингредиенты используют­ся для приготовления не одной, а нескольких смесей. При этом в качестве переменной Xkj, такой задачи рассматривается количество ингредиента J, используемое для приготовления смеси K. Крите­рий задачи — максимизация прибыли.

Введем обозначения:

П — количество исходных ингредиентов;

Т — количество компонентов в смеси;

W — количество условий, отражающих содержание J-го ингре­диента в смеси;

S — количество смесей;

ХKj — количество J-го ингредиента, входящего в K-ю смесь;

АIj — доля I-го компонента в J-м ингредиенте;

Bik — минимально допустимая доля I-го компонента в K-Й смеси;

СJ — стоимость единицы J-го ингредиента;

РK — стоимость единицы K-Й смеси;

Drkj — коэффициент, отражающий R-е условие на содержание J-го ингредиента в K-Й смеси;

ИJ — количество имеющегося J-го ингредиента.

Модель С:

Здесь (9) — целевая функция (максимум прибыли);

(10) — группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(11) — группа ограничений на содержание ингредиентов в смеси;

(12) — ограничения на количество ингредиентов;

(13)— ограничения на неотрицательность переменных.

< Предыдущая		Следующая >