18. Изолированные особые точки

Напомним определение. Точка называется особой точкой аналитической функции , если в ней аналитичность ее нарушается.

Определение 2. Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки с исключенной точкой , в которой аналитична, кроме самой точки .

Существует три типа изолированных особых точек. Приведем их определения.

Определение 3. Точка называется устранимой особой точкой , если разложение ее в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части.

Определение 4. Точка называется полюсом кратности N функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности точки главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является .

Определение 5. Точка называется существенно особой точкой функции , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Приведем критерии типа изолированных особых точек.

1) для того, чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .

2) для того, чтобы точка была полюсом кратности N функции, необходимо и достаточно, чтобы , .

3) для того, чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .

Полезна следующая теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядка N функции, нужно, чтобы она была нулем N - го порядка функции (связь между нулями и полюсами).

Пример 1. Для функции особой точкой является . Имеем - есть устранимая особая точка.

Пример 2. Для функции является особой точкой. Так как - это полюс. Так как для функции т. является нулем пятого порядка, то - полюс пятого порядка функции .

Пример 3. Для функции является особой точкой. Разложение в ряд Лорана: в главной части содержит бесконечное число членов: это существенно особая точка.

Пример 4. Найти все особые точки функции и определить их характер.

Решение. Особыми точками являются точка и точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Имеем , откуда , причем эти точки являются нулями первого порядка. Следовательно, в точках , функция имеет простые полюса. Точка не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов: : это означает, что любая окрестность точки содержит бесконечное число особых точек .