6.7. Задачи для самостоятельного решения

1. Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность выигрыша одного билета 0,1. Найти дисперсию числа успехов в данном опыте.

2. Проводятся три независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события постоянна и равна p. Пусть X – число появлений события A в этом опыте. Найти D(X), если известно, что M(X) = 2,1.

3. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 80 попаданий в цель?

4. Среди семян ржи имеется 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

5. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна p = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

6. Сообщение содержит 1000 символов. Вероятность искажения одного символа равна 0,004. Найти среднее число искаженных символов; вероятность того, что будет искажено не более 3-х символов.

7. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть непрерывная случайная величина X, имеющая равномерное распределение на отрезке [19,20]. Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 час 22 минут до 19 час 46 минут.

8. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 мин. Считая, что случайная величина X – время ожидания автобуса – распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание) и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

9. Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые 2 часа. Считая, что время прибытия автомашин – случайная величина X – распределено равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.

10. Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке [2,8]. Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3,5).

11. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?

12. Случайная величина X, которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения . Найти: среднее время работы элемента, вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.

13. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

14. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

15. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

16. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов?

17. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.

18. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 с испускало в среднем 3,87 -частицы. Найти вероятность того, что за 1 с это вещество испустит хотя бы одну -частицу.

19. Средняя продолжительность телефонного разговора равна 3 мин. Найти вероятность того, что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут, считая, что время разговора является случайной величиной X, распределенной по показательному закону.

20. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

21. Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону: . Какова вероятность того, что при четырех испытаниях случайная величина X попадет хотя бы один раз в интервал (1, 2)?

22. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.

23. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами г, г. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.

24. Рост взрослых мужчин является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону: . Найти плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.

25. Пусть диаметр изготовляемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами см, См. Найти вероятность того, что размер диаметра взятой наудачу детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм.

26. Цех изготовляет детали, длины которых представляют собой случайную величину X, распределенную по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины X соответственно равны 15 и 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины детали в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.

27. Длина детали, изготовленной на станке, есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием 45 см и средним квадратическим отклонением 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16.

28. Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратическое отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98.

29. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X – количество сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, – равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее квадратическое отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.

30. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

< Предыдущая		Следующая >