§ 06. Основные элементарные функции

В этом параграфе мы рассмотрим основные элементарные функции. Для каждой функции запишем ее свойства и начертим график.

Степенные функции , где . Рассмотрим несколько частных случаев степенной функции.

Функции (). Функции определены на всей числовой прямой, . Они принимают только неотрицательные значения, . Функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. Эти функции ограничены снизу. В точке они имеют минимум и принимают наименьшее значение, равное 0, сверху функции не ограничены (рис. 5).

Функции (). Функции определены на всей числовой прямой, . Множества их изменения – также вся числовая ось , то есть эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат (рис. 6).

Функции (). Функции определены для всех значений Х, отличных от 0, то есть . Они принимают только положительные значения . Эти функции ограничены снизу, но они не принимают свое наименьшее значение. Функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. При функции убывают, при функции возрастают. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 7).

Функции (). Функции определены для всех значений Х, отличных от 0, то есть . Множества их изменения также все значения У, отличные от 0, то есть . Эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Функции убывают при и при . Точка – точка разрыва функции. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 8).

Функции (). Функции определены для всех неотрицательных значений Х, то есть . Множества их изменения также все неотрицательные значения У, то есть . Эти функции ограничены снизу и не ограничены сверху. Наименьшее значение У = 0 функции принимают при Х = 0. Функции возрастают на всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис. 9).

Функции и взаимнообратны при , а значит, их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.

Функции (). Функции определены для всех значений Х, то есть . Множества их изменения – также все значения У, то есть . Эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции возрастают на всей области своего определения. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат (рис. 10).

Функции и взаимнообратны. Их графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

Функции (). Функции определены для всех положительных значений Х, то есть . Множества их изменения – также все положительные значения У, то есть . Эти функции ограничены снизу и не ограничены сверху, но они ни в одной точке не принимают свое наименьшее значение. Функции убывают на всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис. 11).

Функции и взаимнообратны при , и их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.

Функции ().Функции определены для всех значений Х, отличных от 0, то есть . Множества их изменения – также все значения У, отличные от 0, то есть . Эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Функции убывают при и при . Точка – точка разрыва функции. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 12).

Функции и взаимнообратны. Их графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

Тригонометрические функции.

Функция . Область определения функции – вся числовая прямая, . Она принимает значения, удовлетворяющие условию , то есть . Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение функция принимает в точках (), и эти точки являются точками минимума. Наибольшее значение функция принимает в точках (), и эти точки являются точками максимума. График функции пересекает ось абсцисс в точках (). Функция является периодиЧеской, ее период . Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она возрастает на каждом промежутке () и убывает на каждом промежутке (). График этой функции называется Синусоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной , например , а затем копировать его (рис. 13).

Функция . Область определения функции вся числовая прямая: . Она принимает значения, удовлетворяющие условию , то есть . Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение функция принимает в точках (), и эти точки являются точками минимума. Наибольшее значение функция принимает в точках (), и эти точки являются точками максимума. График функции пересекает ось абсцисс в точках (). Функция является периодической, ее период . Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она возрастает на каждом промежутке () и убывает на каждом промежутке (). График этой функции называется Косинусоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной , например , а затем копировать его (рис. 14).

Функция . Область определения функции все действительные значения Х, кроме (): . Множество ее изменения – вся числовая прямая, . Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Она не имеет точек экстремума и не принимает ни наименьшее, ни наибольшее значения. График функции пересекает ось абсцисс в точках (). Функция является периодической, ее период . Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она возрастает на каждом промежутке (), в точках () функция имеет разрывы. График этой функции называется Тангенсоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной , например , а затем копировать его (рис. 15).

Функция . Область определения функции все действительные значения Х, кроме (): . Множество ее изменения – вся числовая прямая, . Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Она не имеет точек экстремума и не принимает ни наименьшее, ни наибольшее значения. График функции пересекает ось абсцисс в точках (). Функция является периодической, ее период . Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она убывает на каждом промежутке (), в точках () функция имеет разрывы. График этой функции называется Котангенсоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной , например , а затем копировать его (рис. 16).

Обратные тригонометрические функции.

Напомним определения обратных тригонометрических выражений. Арксинусом числа А называется угол a такой, что и . Арккосинусом числа А называется угол a такой, что и . Арктангенсом числа А называется угол a такой, что и . Арккотангенсом числа А называется угол a, такой, что и .

Функция является обратной к функции . Используя свойства прямой функции, получим свойства обратной. Для этого рассмотрим часть графика функции , на которой синус каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонности функции) – отрезок . Функция каждому значению синуса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции – отрезок [–1; 1], множество изменения – отрезок . Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение функция принимает в точке , наибольшее значение функция принимает в точке . Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения. График функции симметричен рассмотренной выше части графика функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 17).

Функция является обратной к функции . Используя свойства прямой функции, получим свойства обратной. Для этого рассмотрим часть графика функции , на которой косинус каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонности функции) – отрезок . Функция каждому значению косинуса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции – отрезок [–1; 1], множество изменения – отрезок . Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение функция принимает в точке , наибольшее значение функция принимает в точке . Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция является монотонно убывающей на всей области определения. График функции симметричен рассмотренной выше части графика функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 18).

Функция является обратной к функции . Используя свойства прямой функции, получим свойства обратной. Для этого рассмотрим одну ветвь графика функции , на которой тангенс каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонности функции) – интервал . Функция каждому значению тангенса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции – вся числовая прямая, , множество изменения – интервал . Функция ограничена и сверху и снизу, но она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения. График функции симметричен ветви графика функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 19).

Функция является обратной к функции . Используя свойства прямой функции, получим свойства обратной. Для этого рассмотрим одну ветвь графика функции , на которой котангенс каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонности функции) – интервал . Функция каждому значению котангенса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции – вся числовая прямая, , множество изменения – интервал . Функция ограничена и сверху и снизу, но она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений. Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция является монотонно убывающей на всей области определения. График функции симметричен ветви графика функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 20).

Показательная функция , где и . Область определения функции – вся числовая прямая, . Функция принимает только положительные значения: . Функция ограничена снизу и не ограничена сверху. Она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений, не имеет точек экстремума. Показательная функция не является ни четной, ни нечетной. График функции пересекает ось ординат в точке , ось абсцисс он не пересекает. При функция является возрастающей (рис. 21), а при – убывающей (рис. 22) на всей области определения.

Логарифмическая функция , где и . Логарифмическая функция является обратной к показательной. Поэтому ее область определения – множество положительных чисел, , область изменения – множество действительных чисел, . Функция не Ограничена ни сверху, ни снизу. Она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений, не имеет точек экстремума. Логарифмическая функция не является ни четНой, ни нечетной. График функции пересекает ось абсцисс в точке , ось ординат график не пересекает. При функция является возрастающей (рис. 23), а при – убывающей (рис. 24) на всей области определения. График функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.