33. Влияние увеличения размера выборки на точность оценок

Будем по-прежнему предполагать, что мы исследуем случайную переменную X с неизвестным математическим ожиданием и теоретической дисперсией и что для оценивания используется . Каким образом точность оценки X зависит от числа наблюдений N?

При увеличении N оценка , вообще говоря, становится более точной. В единичном эксперименте большая по размеру выборка необязательно даст более точную оценку, чем меньшая выборка, но общая тенденция должна быть именно такой. Поскольку дисперсия выражается формулой , она тем меньше, чем больше размер выборки, и, значит, тем сильнее «сжата» функция плотности вероятности для .

Это показано на рис. 9. Предположим, что X нормально распределена со средним 25 и стандартным отклонением 50. Если размер выборки равен 25, то стандартное отклонение величины , равное , составит: . Если размер выборки равен 100, то это стандартное отклонение равно 5. На рис. 9 показаны соответствующие функции плотности вероятности. Вторая () выше первой в окрестности , что говорит о более высокой вероятности получения с ее помощью аккуратной оценки. За пределами этой окрестности вторая функция всюду ниже первой.

Рис. 9.

Чем больше размер выборки, тем уже и выше будет график функции плотности вероятности для . Если N становится действительно большим, то график функции плотности вероятности будет неотличим от вертикальной прямой, соответствующей . Для такой выборки случайная составляющая X становится действительно очень малой, и поэтому обязательно будет очень близкой к . Это вытекает из того факта, что стандартное отклонение , равное , становится очень малым при больших N.

В пределе, при стремлении N к бесконечности, стремится к нулю и стремится в точности к .

< Предыдущая		Следующая >