29. Оценки как случайные величины

Получаемая Оценка представляет частный случай случайной переменной. Причина здесь в том, что сочетание значений X в выборке случайно, поскольку X – случайная переменная и, следовательно, случайной величиной является и функция набора ее значений. Возьмем, например, – оценку математического ожидания:

.

Выше было показано, что величина X в I-м наблюдении может быть разложена на две составляющие: постоянную часть и чисто случайную составляющую :

. (17)

Следовательно,

, (18)

Где – выборочное среднее величин .

Отсюда можно видеть, что , подобно X, имеет как фиксированную, так и чисто случайную составляющие. Ее фиксированная составляющая – , то есть математическое ожидание X, а ее случайная составляющая – , то есть среднее значение чисто случайной составляющей в выборке.

Функции плотности вероятности для X и показаны на одинаковых графиках (рис. 6). Величина X считается нормально распределенной. Можно видеть, что распределения, как X, так и , симметричны относительно – теоретического среднего. Разница между ними в том, что распределение уже и выше. Величина , вероятно, должна быть ближе к , чем значение единичного наблюдения X, поскольку ее случайная составляющая есть среднее от чисто случайных составляющих в выборке, которые, по-видимому, «гасят» друг друга при расчете среднего. Далее теоретическая дисперсия величины составляет лишь часть теоретической дисперсии .

Рис. 6.

Величина – оценка теоретической дисперсии X – также является случайной переменной. Вычитая (18) из (17), имеем:

.

Следовательно,

.

Таким образом, зависит только от чисто случайной составляющей наблюдений X в выборке. Поскольку эти составляющие меняются от выборки к выборке, также от выборки к выборке меняется и величина оценки .

< Предыдущая		Следующая >