08. Задача 2. Оптимизационная задача

Оптимизация прибыли. Фирма, специализирующаяся на производстве замороженных пищевых полуфабрикатов, выпускает три различных продукта (продукт 1, продукт 2 и продукт 3), каждый из которых получается путем определенной обработки кар­тофеля и подлежит соответствующей упаковке. В начале технологического процесса необработанный картофель сортируется по размеру и качеству, после чего его распределяют по различным поточным линиям.

Фирма может закупить картофель у двух различных поставщи­ков. При этом объемы продуктов 1, 2 и 3, которые можно получить из одной тонны картофеля первого поставщика, отличаются от объе­мов продуктов 1, 2 и 3, получаемых из того же количества картофеля второго поставщика. Соответствующие показатели приведены в табл. 5.

Таблица 5

Продукт	Постав­щик 1	Постав­щик 2	Ограничения на объем выпускае-мой продукции
1	0.2	0,3	1,8
2	0.2	0,1	1,2
3	0,3	0,3	2,4
Относительная прибыль	5	6

Исходные данные по задаче

Из данной таблицы следует, что из 1 Т картофеля поставщика 1 можно изготовить 0,2 Т продукта 1, 0,2 Т продукта 2 и 0,3 Т продук­та 3; остальные 0.3 M составляют отходы. У картофеля поставщика 2 аналогичные показатели по отношению к продукту 3 и к отходам совпадают с соответствующими показателями для предыдущего случая; однако процент выхода продукта 1 во втором случае оказы­вается более высоким.

Необходимо определить, какое количество картофеля следует купить у каждого из постав­щиков. Для ответа необходимо знать «относительную» прибыль, полу­чаемой фирмой в случае покупки картофеля у поставщика 1 и у по­ставщика 2. При этом относительная прибыль при покупке картофе­ля у поставщика 1 вычисляется путем вычитания из полной выручки в результате продажи фирмой всех видов продуктов, полученных из 1 Т. необработанного картофеля, закупленного у поставщика 1, стоимости 1 Т картофеля. Аналогично определяется относительная прибыль фирмы, получаемая за счет покупки картофеля у постав­щика 2. Цены на картофель у поставщика 1 и у поставщика 2 могут быть разными. Термин Относительная прибыл Используется постольку, поскольку в расчетах пока не принимаются другие виды расходов. К их числу могут, в частности, относиться затраты, связанные с доставкой продукции к местам сбыта и с обслуживанием покупателей. Такого рода затраты имеют место лишь после получения готовой продукции, и считаем что они одинаковы для поставщиков. Они не имеют отношения к затратам во время покупки картофеля, и, следовательно, при принятии решения размещение поставщиков картофеля не учитывается. Предположим, что отно­сительная прибыль при закупке картофеля у поставщика 1 равна 5, а при закупке картофеля у поставщика 2 составляет 6. Из того факта, что относительная прибыль при закупке картофеля у постав­щика 2 является более высокой, однако, вовсе не следует, что фирме следует произвести закупку всего требуемого ей количества картофе­ля у поставщика 2.

При принятии решения по закупке картофеля возможны три основных варианта: либо все закупить у поставщика 1; либо у поставщика 2; либо выявить доли объемов продукции закупаемых у поставщиков. При этом, необходимо учесть следующие факторы: максимальное количество каждого продукта, которое фирма может продать, и максимальное количество каждого из продуктов, которое фирма может изготовить при заданных условиях производства. Для простоты изложения допустим, что, учитывая оба эти фактора одновременно, мы получаем следующие ограничения:

- продукт 1 не может выпускаться в количестве, превышающем 1.8;

- продукт 2 не может выпускаться в количестве, превышающем 1.2;

- продукт 3 не может выпускаться в количестве, превышающем 2,4.

Эти ограничения математически можно сформулировать следую­щим образом.

Пусть P1 и Р2 означают количество картофеля, которое будет закуплено у поставщиков 1 и 2 соответственно. Тогда значения Р1 И Р2 должны подчиняться следующим линейным неравенствам:

0,2Р1 + 0,3Р2 £ 1.8 для продукта 1,

0,2Р1 + 0,1Р2 £ 1.2 для продукта 2, (1)

0,3Р1 + 0,3Р2 £ 2.4 для продукта 3,

Условия неотрицательности P1 ³ 0 и P2 ³ 0 приняты потому, что отрицательные значения этих величин (например P1 = -4) Не имели бы физического смысла.

На основании системы (1) построим предельные линии ограничения. Для этого по каждому из уравнений

0,2Р1 + 0,3Р2 = 1.8

0,2Р1 + 0,1Р2 = 1.2

0,3Р1 + 0,3Р2 = 2.4

Дадим значения крайних координат линии ограничения. Например, для уравнения

0,2Р1 + 0,3Р2 = 1.8 имеем Р1 = 0, тогда Р2 = 1.8 : 0.3 = 6. Для Р2 = 0, Р1 = 1.8 : 0.2 = 9.

Аналогично найдем нулевые координаты для других уравнений. Линии ограничения построены на графиках, приведенных на рис.5

Рис.5. Линии ограничения для системы (1)

Стрелка, проведенная от каждой из этих линий, указывает направление, определяемое знаком неравенства в соответствующем ограничении. Для нахождения совместного решения, совместим линии ограничения на одном графике (рис.6), которые характеризуют допустимые стратегии закупок.

Pис.6. Допустимые стратегии закупок

Заштрихованная область является совместной областью для системы (1), значения из которой удовлетворяют условиям ограничения. Все значения Р1 и P2 удовлетворяющие условиям (1), представ­лены на рис.6 заштрихованной областью.

При этом необходимо сформулировать условие оптимизации и построить целевую функцию решения задачи. Оптимальными являются такие значения P1 и Р2, при которых относительная прибыль максимальна, если при этом выполняются условия (1). Таким образом, задача оптимизации сводится к мак­симизации выражения

5Р1 + 6Р2 Þ max, (2)

При наличии ограничений (1).

Каждая из. множества параллельных прямых, изображенных на этом рисунке, соответствует различным комбинациям значений P1 и Р2, приводящим к одному и тому Же значению линейной целевой функции

5Р1 + 6Р2.

Самая верхняя линия, содер­жащая точку в области допустимых с точки зрения условий (1) значений, определяет мак­симальное значение целевой функции. Оптимальное реше­ние задается именно этой точ­кой.

Легко убедиться графиче­ски. что в рассматриваемом случае оптимальное решение является единственным; оно на­ходится на пересечении пря­мых, определяемых двумя пер­выми условиями (1). Следовательно, оптимальные значения Р1 и Р2 можно вычислить путем совместного решения двух линейных уравнений

0,2Р1 + 0,3Р2 = 1,8 для продукта 1,

0,2Р1 + 0,1Р2 = 1,2 для продукта 2. (3)

Читатель без труда может убедиться, что оптимальные значения Р1 и Р2 равны 4,5 и 3 соответственно; значение целевой функции при этом равняется 40,5.

Рассмотренная задача служит иллюстрацией так называемой Модели линейного программирования. В случаях практического при­менения линейного программирования количество ограничений обыч­но достигает нескольких сотен, а количество переменных — нескольких тысяч.

Способы построения такого рода моделей, А также практические методы нахождения оптимальных решений с использованием электронных таблиц приведены ниже.

< Предыдущая		Следующая >