2.01. Вероятностное моделирование ошибок

Мы уже неоднократно сталкивались с вопросом о том, сколь существенно величина коэффициента корреляции (детерминации) должна отличаться от нуля, чтобы можно было говорить о действительно существующей линейной связи между исследуемыми переменными.

Если Оцененное значение эластичности потребления некоторого товара оказалось несколько больше единицы, то возникает вопрос о том, сколь надежным является заключение о том, что потребление этого товара эластично по ценам.

Если мы будем использовать подобранную прямую

Для прогнозирования значений для Новых наблюдений , t= n+1,...,N +K, то сколь надежными будут такие прогнозы?

Если у нас нет Теоретических (экономических) оснований для выбора между моделью в уровнях переменных и моделью в логарифмах уровней, то как выбрать одну из этих моделей на основании одних только наблюдений?

Ответы на эти и другие подобные вопросы невозможны, если мы не сделаем некоторых более или менее подробных Предположений о структуре последовательности ошибок , участвующих в определении модели наблюдений

Базовая, и наиболее простая модель для последовательности предполагает, что — Независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение (I. i. d. — independent, identically distributed random variables).

Для нас (Пока!) достаточно представлять случайную величину как переменную величину, такую, что До наблюдения ее значения Невозможно предсказать это значение абсолютно точно, и, в то же время, Для любого , , определена Вероятность

Того, что Наблюдаемое значение переменной Не превзойдет ; . Функция , называется Функцией распределения случайной величины (C. d. f. — Cumulative distribution function).

Говоря об ошибках как О случайных величинах, мы, соответственно, понимаем указанную линейную модель наблюдений таким образом, что

А) Существует (теоретическая, объективная или в виде тенденции) линейная зависимость значений переменной от значений переменной с вполне определенными, хотя обычно и не известными исследователю, значениями параметров и;

Б) эта линейная связь для реальных статистических данных Не является строгой: наблюдаемые значения переменной Отклоняются от значений , указываемых моделью линейной связи

В) при Заданных (известных) значениях Конкретные значения отклонений

Не могут быть точно предсказаны до наблюдения значений даже если значения параметров и известны точно;

Г) для каждого , определена вероятность того, что Наблюдаемое значение отклонения Не превзойдет , причем эта вероятность Не зависит от номера наблюдения;

Д) вероятность того, что наблюдаемое значение отклонения в I-М наблюдении не превзойдет , Не зависит от того, какие именно значения принимают отклонения в остальных наблюдениях.

В дальнейшем, говоря о той или иной случайной величине , мы Будем предполагать существование функции , принимающей только Неотрицательные значения и такой, что

1) площадь под кривой

В прямоугольной системе координат (точнее, площадь, ограниченная сверху этой кривой и снизу — горизонтальной осью ) Равна ,

2) для любой пары значений с , вероятность

Численно равна Площади, ограниченной снизу осью , сверху — кривой , слева — вертикальной прямой , справа — вертикальной прямой (т. е. равна Части площади Под кривой , расположенной Между точками и ).

3) для любого , вероятность того, что наблюдаемое значение Не превзойдет , равна площади, ограниченной снизу осью , сверху — кривой и справа — вертикальной прямой , т. е. равна Части площади под кривой , расположенной Левее точки .

Заметим, что при этом выполняется следующее важное соотношение:

(Действительно, вероятность численно равна части площади под кривой , расположенной Левее точки , а эта часть складывается из части площади под кривой, расположенной Левее точки.. и части площади под кривой, расположенной Между точками И , так что

Откуда и следует заявленное соотношение.) Кроме того,

(Действительно,

Поскольку слева складываются части площади под кривой , расположенные, соответственно, Левее и Правее точки , так что в сумме они составляют Всю площадь под этой кривой, а вся площадь под кривой как раз и равна 1.)

Функция связана с функцией распределения случайной величины соотношениями

И называется Функцией плотности вероятности случайной величины (P. d.f. — Probability density function). Для краткости, мы часто будем говорить о функции как о Функции плотности или о Плотности распределения случайной величины .

Возьмем два непересекающихся интервала значений переменной : и . Рассмотрим два варианта распределения вероятности случайной величины : Равномерное распределение на отрезке и Треугольное распределение на том же отрезке. Графики функций плотности для этих двух вариантов имеют следующий вид:

Площади заштрихованных прямоугольников на Первом графике численно равны вероятностям того, что случайная величина , имеющая Равномерное распределение на отрезке , примет значения в пределах и , соответственно. Поскольку основания и высоты этих прямоугольников равны, то равны и их площади, т. е. равны указанные вероятности.

Площади заштрихованных трапеций на Втором графике численно равны вероятностям того, что случайная величина , имеющая Треугольное распределение на отрезке , примет значения в пределах и , соответственно. Высоты этих трапеций равны, однако стороны трапеции, расположенной правее, больше сторон трапеции, расположенной левее. Поэтому и площадь трапеции, расположенной правее, больше площади трапеции, расположенной левее. А это означает, в свою очередь, что вероятность того, что случайная величина , имеющая треугольное распределение на отрезке , примет значения в пределах , Больше вероятности того, что эта случайная величина примет значения в пределах .

Таким образом, функция плотности указывает на Более вероятные и Менее вероятные интервалы значений случайной величины. Если случайная величина имеет Равномерное распределение на отрезке , то для нее Все интервалы значений, имеющие одинаковую длину и расположенные Целиком в пределах отрезка , имеют Одинаковые вероятности (т. е. вероятности попадания значений случайной величины на эти интервалы одинаковы). Если же случайная величина имеет Треугольное распределение на отрезке , то для нее интервалы значений, имеющие одинаковую длину и расположенные Целиком в пределах отрезка , имеют, вообще говоря, Различные вероятности: вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале, расположенном ближе к центральному значению , Больше вероятности того, что случайная величина примет значение в интервале, расположенном ближе к одному из концов отрезка .

Обсудим несколько более точно вопрос о том, что мы понимаем под Независимостью нескольких случайных величин. Пусть мы имеем случайных величин , имеющих Одинаковую функцию распределения . Мы говорим, что эти случайные величины Независимы в совокупности, Если Для любого набора пар , ,...,, где И Могут быть равны также и ,

При таком предположении Условная вероятность того, что, например, , При условии, что , , , Равна Безусловной вероятности того, что , т. е. вероятности, вычисляемой Без задания указанногоусловия:

(Вертикальная черта в этой формуле указывает на то, что первая вероятность — Условная; справа от вертикальной черты записано Условие, при котором вычисляется эта вероятность.) Иначе говоря, на распределение вероятности случайной величины Не влияет информация о значениях случайных величин . И вообще, на распределение вероятностей случайной величины Не влияет информация о значениях случайных величин с .

Если случайные величины имеют Одинаковое распределение (заданное или функцией распределения или функцией плотности) и Независимы в совокупности, то часто это обозначают в записи следующим образом:

~.

Возвращаясь к модели наблюдений

И предполагая, что — Независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение (I. i. d), Мы должны теперь сделать еще и предположение о том, Каким именно является это одинаковое для всех распределение.

< Предыдущая		Следующая >