11. Локальный экстремум функции нескольких переменных

1°. Точка Называется точкой локального максимума функции , если найдется такая e-окрестность т. , что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство:

И точкой локального минимума, если

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами.

2°. Теорема (необходимый признак экстремума). Если функция дифференцируема в т. и имеет в этой точке экстремум, то все ее частные производные первого порядка в т. равны нулю:

... .

3°. Точки экстремума функции принадлежат множеству критических точек, которое состоит из стационарных (в которых все производные первого порядка равны нулю) и точек, в которых хотя бы одна из производных первого порядка не существует.

4°. Теорема (достаточный признак экстремума дважды дифференцируемой функции).

Пусть дважды дифференцируемая в т. и точка — ее стационарная точка. Если второй дифференциал функции представляет собой положительно определенную квадратичную форму относительно , то — точка минимума, если — отрицательно определенная форма, то — точка максимума,, если — знакопеременная квадратичная форма, то в т. экстремума нет.

5°. Пусть — функция двух переменных.

— стационарная точка.

Обозначим

; ; .

Тогда:

1) если то в т. — экстремум.

Причем максимум, если и минимум, если .

2) если то в т. экстремума нет.

3) если D = 0, то т. может являться точкой экстремума, а может не являться экстремумом. В данном случае теорема ответа не дает.

Примеры

1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

А) Находим стационарные точки функции. Для этого следует найти первые производные и приравнять их к нулю:

Решая систему уравнений, находим 2 стационарные точки: и ;

Б) Для того, чтобы решать вопрос о том, являются ли найденные стационарные точки точками экстремума, следует найти все вторые производные: и вычислить их значения в стационарных точках:

в точке — экстремума нет.

в точке функция достигает экстремума и т. к. то это минимум:

2. Исследовать на экстремум функцию , заданную неявно:

Решение:

А) Для определения критических точек вычислим первые производные функции

В точках, где , первые производные существуют, и стационарные точки определяются из системы уравнений:

(1)

Обратите внимание: система относительно трех переменных состоит только из двух уравнений. К этой системе следует присоединить уравнение, задающее функцию :

(2)

Из системы (1) легко выражаются и через :

Подставляя эти соотношения в (2), получаем:

; .

Таким образом, точки и — стационарные точки функции.

Б) вычисляя вторые производные следует помнить, что переменная является функцией и .

Заметьте, что подставлять в эти формулы и не нужно, поскольку производные второго порядка нужны только в стационарных точках, где и

— точка экстремума, — точка .

В точке

;

; .

— точка экстремума, — точка минимума.

6°. Если — дважды дифференцируемая функция трех переменных и — стационарная точка, то для проверки достаточного признака экстремума следует вычислить все вторые производные функции в точке :