53. Показательные неравенства

Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при постоянном основании А, А > 0, A ¹ 1.

Типы неравенств и способы их решения

Всюду далее F(X), G(X), H(X) – некоторые выражения с переменной.

I тип: неравенство вида

(6.12)

Где B ΠR.

Если то решением неравенства (6.12) является множество всех X из ОДЗ выражения F(X).

Если логарифмированием по основанию A неравенство (6.12) сводится к равносильному неравенству. При этом существенно учитывается величина основания A:

1) если то в результате логарифмирования получают неравенство

2) если то после логарифмирования приходят к неравенству

Далее решают в зависимости от вида выражения F(X).

Если исходное неравенство имело знак < или ³, или £, то аналогично знак неравенства меняется на противоположный в случае и не изменяется в случае

II тип: неравенство вида

(6.13)

Для решения неравенства (6.13) (или аналогичных ему со знаками ³, <, £) используют монотонность логарифма:

1) если 0 < A < 1, то неравенство (6.13) равносильно неравенству

Которое решают в зависимости от вида выражений F(X) и G(X);

2) если то неравенство (6.13) равносильно неравенству

III тип: неравенство вида

(6.14)

Где F – некоторое выражение относительно

Вводят замену переменной и решают относительно переменной Y неравенство

Найденные в качестве решения промежутки (если такие существуют) записывают в виде неравенств относительно Y и затем возвращаются к переменной X. Остается решить полученные показательные неравенства.

Если переменная содержится и в основании степени, и в показателе, то такое неравенство называется Показательно-степен­ным. Поскольку изменение знака неравенства зависит от величины основания, то для показательно-степенных неравенств рассматривают два случая, т. е. решают совокупность систем неравенств.

Показательно-степенные неравенства решают при условии, что основание степени положительно.

В частности, аналогом показательного неравенства (6.13) является следующее показательно-степенное неравенство

(6.15)

Его решение сводится к решению совокупности:

Пример 1. Решить неравенство и в ответе указать меньшее целое решение.

Решение. Преобразуем неравенство к виду

т. е.

Получили неравенство I типа. Решаем логарифмированием по основанию 2. Поскольку основание степени – число 2 и 2 > 1, то знак неравенства сохраняется:

Получили Определим, между какими последовательными целыми числами находится число Используя монотонность логарифма, имеем:

т. е.

Тогда

Следовательно,

Число –5 – меньшее целое решение, которое принадлежит промежутку

Получаем ответ: Х = –5.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Запишем неравенство в виде

Получили неравенство II типа. Поскольку основание степени число и то знак неравенства изменится на противоположный. Получаем неравенство:

т. е. и

Получили ответ:

Пример 3. Найти сумму целых решений неравенства

Решение. Преобразуем неравенство к виду

Разделив обе части неравенства на получим:

Получили квадратное неравенство относительно (неравенство III типа). Заменяем и решаем квадратное неравенство

Его решением является т. е.

Возвращаемся к исходной неизвестной величине:

Получаем множество решений: X Î [–2; 0].

Целыми решениями являются числа: X = –2, X = –1 и X = 0.

Их сумма равна:

Получаем ответ: –3.

< Предыдущая		Следующая >