35. Степени и корни. Корень n-й степени

Для всякого числа A Î R определена степень с натуральным показателем An, N Î N.

Число B Î R называется Корнем N-й степени, N Î N, N ³ 2, из числа А, если обозначают

Нахождение корня N-й степени из данного числа А называют Извлечением корня N-й степени Из числа А. Число А, из которого извлекается корень N-й степени, называют Подкоренным выражением, а число N – Показателем корня.

Если то определен для всех A Î R и принимает любые действительные значения.

Если то определен для всех A ³ 0 (A Î R). В курсе элементарной математики рассматривают Арифметическое значение корня, т. е. число

Свойства корней

Пусть A, B Î R, тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6) где A ³ 0 в случае

7) где в случае

8) где в случае

Пример 1. Вычислить

Решение. 1-й способ. Выделим полные квадраты подкоренных выражений:

Тогда получим

2-й способ. Обозначим вычисляемое выражение через A, т. е.

Заметим, что

Возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Тогда

Поскольку исходное выражение положительно, в ответе получаем A = 4.

Пример 2. Упростить выражение

Решение. 1-й способ. Используем формулы квадрата разности и суммы, а также свойства корней. Получаем:

2-й способ. При упрощении иррациональных выражений часто бывает эффективным Метод рационализации, основанный на замене переменных.

Введем такую замену переменных, чтобы корни извлеклись:

Заданное выражение приобретает вид

Упрощаем его, используя формулы сокращенного умножения:

Возвращаясь к старым переменным, приходим к ответу

Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

1) 2) 3)

Решение. 1) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:

2) Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и воспользуемся формулой суммы кубов:

3) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения:

< Предыдущая		Следующая >