21. Системы и совокупности уравнений

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными и где – некоторые выражения с переменными Х и У. Если ставится задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что задана Система уравнений:

(3.15)

Решить систему (3.15) – значит найти все пары чисел которые являются решением каждого уравнения, или доказать, что таких пар чисел не существует.

Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными.

Системы, все уравнения которых однородные, называются Однородными системами уравнений.

Система называется Совместной, если она имеет хотя бы одно решение и Несовместной, если таких решений не существует.

Две системы уравнений Эквивалентны (Равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.

Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей:

1) менять порядок следования уравнений;

2) умножать на число любое уравнение;

3) умножать на число одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению.

Несколько уравнений образуют Совокупность уравнений

Если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входят в область определения остальных уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

(3.16)

Где

Геометрически каждому уравнению системы (3.16) соответствует прямая линия на плоскости:

Справедливы утверждения:

1) если то система (3.16) имеет единственное решение (геометрически – прямые пересекаются в определенной точке);

2) если то система (3.16) не имеет решений (прямые параллельны);

3) если то система (3.16) имеет бесконечно много решений (прямые и – совпадают).

Основными методами решения систем уравнений (3.15) являются:

1) метод подстановки;

2) метод исключения неизвестной;

3) метод сложения;

4) метод умножения (деления) уравнений;

5) метод замены переменных;

6) графический метод.

Пример 1. Решить систему

Решение. Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы умножим на и прибавим ко второму:

Откуда следует

Получаем

т. е.

Следовательно,

Заданная система сводится к решению совокупности систем:

Ее решением являются пары чисел:

Пример 2. Решить систему

Решение. ОДЗ:

Заменим в первом уравнении системы тогда

Получим дробно-рациональное уравнение:

Решаем его

Возвращаемся к переменным Х, У:

– подходит по ОДЗ.

Получили ответ

Пример 3. Решить систему

Решение. Данная система относится к Симметрическим системам (неизвестные входят одинаково). Решение таких систем производят стандартной заменой переменных

(3.17)

Далее используем метод сложения:

т. е.

Получаем корни этого квадратного уравнения:

С учетом системы (3.17) имеем:

Возвращаясь к переменным Х, У, получаем:

Решим записанные системы отдельно:

1) (3.18)

Возвращаясь к системе (3.18), получаем:

Т. е. имеем два решения и

2) (3.19)

Поскольку для последнего квадратного уравнения система (3.19) не имеет решения.

Получили ответ

Пример 4. Решить систему графически:

1) (3.20)

Решение. 1) Исходя из геометрического смысла, – уравнение окружности с центром и радиусом – прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку