19. Уравнения с модулем
Модулем (Абсолютной величиной) Числа 
называется неотрицательное число:
(3.9)
Геометрическая интерпретация модуля: 
– это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, 
– это расстояние от точки 0 до точки Х.
Свойства модуля:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Пусть 
– некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:
Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.
I тип: уравнение вида
(3.10)
Где А – число, 
– некоторое выражение с неизвестной Х.
1. Если 
уравнение (3.10) решений не имеет.
2. Если 
уравнение (3.10) равносильно уравнению 
3. Если 
уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений: 
II тип: Уравнение вида
Где 
– некоторые выражения с неизвестной Х.
Решать это уравнение можно несколькими способами.
1-й способ – используя определения модуля:
2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения 
З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств 
или 
решается легче.
3-й способ – метод интервалов. Необходимо:
1) найти те значения Х, для которых 
2) нанести полученные значения Х на числовую ось;
3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;
4) нарисовать кривую знаков;
5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;
6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;
7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.
III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида
(3.11)
Где 
– некоторые выражения с неизвестной Х.
1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков 
Этот способ, как правило, не является рациональным.
2-й способ – Метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.
IV тип: Уравнение вида
(3.12)
Где – некоторые выражения с неизвестной Х; 
1-й способ – решение уравнения (3.12) сводится к решению совокупности уравнений:
2-й способ – метод интервалов (не рационально).
3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля 
уравнение сводится к равносильному:
Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.
V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:
Где – некоторые выражения с неизвестной Х; 
По свойству модуля оно записывается в виде
Вводят замену 
и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной У. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней 
квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:
Если корень 
единственный, то остается решить уравнение 
Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения 
уравнение с модулем не имеет решений.
Пример 1. Решить уравнение 
Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ: 
Уравнение записывается в виде 
На ОДЗ можно сократить и получаем
откуда 
т. е. 
Получаем корни 
которые подходят по ОДЗ.
Пример 2. Решить уравнение 
Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: 
Оно имеет решение, если 
т. е. при 
Таким образом, для 
получаем:
(3.13)
Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду
откуда 
Это квадратное уравнение решений не имеет, так как 
Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем
т. е. 
Квадратное уравнение имеет корни:
Т. е. первый корень не принадлежит множеству 
на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только 
Пример 3. Решить уравнение 
Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:
(3.14)
Решаем первую систему совокупности (3.14):
Значение 
не подходит по условию 
Следовательно, корнем является 
Решаем вторую систему совокупности (3.14):
Получили ответ 
Пример 4. Решить уравнение 
Решение. Поскольку 
то уравнение записывается в виде
Это уравнение относится к III типу уравнений.
Его ОДЗ: 
Решим методом интервалов.
Нулями выражений, стоящих под модулем, являются 
и 
Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).
 |
Рис. 3.1
Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:
Решим отдельно системы:
|
I.
|
II.
|
III. 
Решением данного уравнения являются значения 
и 
Пример 5. Решить уравнение 
Решение. Запишем уравнение в виде
Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:
После упрощения имеем:
т. е. 
Получаем 
– корень.
Пример 6. Решить уравнение 
Решение. ОДЗ: 
т. е. 
Преобразуем данное уравнение к виду
Заменяем 
Уравнение приобретает вид
Решаем его как дробно-рациональное и получаем:
Последнее квадратное уравнение имеет корни:
Возвращаясь к переменной Х, получаем:
Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.
Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии 
Приходим к совокупности
т. е. 
Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:
Оба они подходят по ОДЗ.
Пришли к ответу: 
Пример 7. Решить уравнение 
Решение. ОДЗ: 
С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:
Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:
Т. е.
– решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.
Получили ответ: 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
