98. Ортогональное дополнение

Определение 1. Пусть L - подпространство евклидова пространства E. Ортогональным дополнением L называется множество L^ всех векторов из E ортогональных каждому вектору из L: L^ = { B€E | для любого вектора A € L имеем B A = 0 }.

Теорема 1.. Для любого подпространства L из E ортогональное дополнение L^ Есть Подпространство из E.

Доказательство. По определению L^ Ê E. Так как для любого вектора A € L имеем 0 A = 0, то 0 € L^ и L^ ≠ Æ.

Проверим условия, входящие в определение подпространства.

1) Пусть B, C € L^, тогда для любого A € L имеем (B + C) A = B A + C A = 0+ 0 = 0, и B + C € L^.

2) Пусть B € L^ , l€R, тогда для любого A € L имеем (lB) A =l(B A) =l 0 = 0, и lB € L^.

Отсюда по определению L^ - подпространство из E. 

Теорема 2. Для любого подпространства L из E L Ç L^ = {0}.

Доказать самостоятельно.

Теорема 3.. Если E - конечномерное евклидово пространство, то E прямая сумма L и L^ : E = L Å L^.

Доказательство. Если L = {0}, то L^ = E. Если L ≠ {0}, то подпространство L Имеет базис E1, E2,…, EK, который в силу теоремы предыдущего параграфа, можно считать ортогональным. По теореме о базисах этот базис можно дополнить до базиса пространства E и полученный базис ортогонолизовать. Получим ортогональный базис E1, E2,…, EK, EK + 1,…, EN пространства E. Тогда любой вектор A € E представляется единственным образом в виде:

A = a1E1 + a2E2 +…+ aKEK + a k + 1EK + 1 +…+ a n eN = B + C; b € L, C € L^.

Отсюда и теоремы 2 по определению прямой суммы следует, что E = L Å L^. 

Следствие. Если E - конечномерное евклидово пространство, то Dim E = dim L + dim L^.

Теорема 4. Пусть V - конечномерное векторное пространство с невырожденным скалярным призведением, L, L1, L2 - Подпространства из V. Тогда справедливы следующие свойства:

1° (L^)^ = L;

2° если L1 Í L2 , то L1^ Ê L2^;

3° (L1 + L2)^ = L1^ Ç L2^;

4° (L1 Ç L2)^ = L1^ + L2^.

Доказательство. 1° Eсли A € L , то Ab =0 для любого B € L^. Поэтому A € L^ и L Í (L^)^. Докажем, что (L^)^ Í L и тогда получим (L^)^ = L.

Пусть A € (L^)^ . Так как (L^)^ Í V и по теореме 4 V = L Å L^, то A = B + B¢ , где B € L , B¢ € L^ . Поэтому Bb¢ = 0. Так как A € (L^)^ , то Ab¢ = 0. Отсюда B¢B¢ = (A - B)B¢ = Ab - Ab¢ = 0 + 0 = 0. В силу невырожденности скалярного произведения B¢ = 0 и A = B € L . Свойство доказано.

Свойства 2° - 4° рекомендуется доказать читателю самостоятельно.

< Предыдущая		Следующая >