59. Общее уравнение прямой. Частные случаи

Рассмотрим произвольное уравнение первого порядка

Ax + By + C = 0, (13)

Где коэффициенты одновременно не равны нулю, т. е. A2+ B2+ C2 ≠ 0.

Теорема 1. Любую прямая в произвольной аффинной системе координат можно задать уравнением (13) первого порядка и обратно любое уравнение (1) первого порядка в аффинной системе координат определяет прямую.

Доказательство. В силу теоремы 1 §4 порядок линии зависит от выбора аффинной системы координат. Поэтому достаточно доказать теорему для прямоугольной системы координат. Любую прямую в прямоугольной системе координат можно задать ее нормальным вектором N = (A,B) ≠ 0 И точкой M0(X0,Y0), принадлежащей прямой. Уравнение этой прямой выведено в §2.2 и имеет вид:

A(X - X0) + B(Y - Y0) = 0.

Отсюда получаем

Ax + By +(-Ax0 - By0 )= 0,

Ax + By +C = 0,

Где С = -Ax0 - By0. Так (A,B) ≠ 0, то A2+ B2 ≠ 0 и любая прямая есть линия первого порядка.

Обратно, пусть некоторая линия на плоскости определена уравнением (13). Так как не все коэффициенты равны нулю, то уравнение (13) имеет решение (X0,Y0). Тогда

Ax0 + By0 + C = 0, (14)

И точка M0(X0,Y0) принадлежит линии. Вычитая почленно из уравнения (13) равенство (14), получим уравнение

A(X - X0) + B(Y - Y0) = 0,

Которое равносильно уравнению (13). Это уравнение в силу §5.2, определяет прямую, проходящую через точку M0(X0,Y0), перпендикулярную вектору N = (A,B).

Замечания 1. Уравнение (13) называется Общим уравнением прямой. Если прямая A задана общим уравнением (13) в прямоугольной системе координат, то N = (A,B) - нормальный вектор плоскости a.

2. Если прямая A задается общим уравнением (13) в произвольной аффинной системе координат и A ≠ 0 или B ≠ 0, то S = (B,-A) - направляющий вектор прямая A.

3. Если B ≠ 0, то уравнение (13) можно записать в виде

. (15)

Следовательно, если система координат прямоугольная, то (15) является уравнением прямой с угловым коэффициентом .

Рассмотрим Частные случаи уравнения (13).

1. Пусть C = 0. Тогда уравнение (13) принимает вид: Ax + By + C = 0 и прямая A, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат (см. Рис.2 6).

2. Пусть B = 0, A ≠ 0. Тогда уравнение (13) принимает вид: Ax + D = 0. Рассмотрим направляющий вектор S = (0,-A) этой прямой. Так как базисный вектор Е1 = (0,1) оси OY .коллинеарен вектору S2, то прямая A, определяемая этим уравнением, параллельна оси OY (см. Рис. 27).

Упражнение 2. Обоснуйте второй частный случай в прямоугольной системе координат, опираясь на понятие нормального вектора.

3. Пусть B ≠ 0, A = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: By + C = 0. Рассмотрим направляющиq вектор S = (B,0) этой прямой. Так как базисный вектор Е1 = (1,0) оси OX.коллинеарен вектору S, то прямая A, определяемая этим уравнением, оси Ox (см. Рис.2 8).

4. Пусть A = 0, B ≠ 0, C = 0. Тогда уравнение (13) принимает вид: By = 0. Прямая A, определяемая этим уравнением совпадает с осью Ox.

5. Если A ≠ 0, B = 0, C = 0, то прямая A, определяемая уравнением (13) совпадает с осью Oy.

< Предыдущая		Следующая >