03. Стереографическая проекция
Пусть 
- сфера, радиуса ½ заданная уравнением 
. Она называется Сферой Римана. Рассмотрим отображение 
заданное по следующему закону: 
- пересечение луча 
со сферой 
. Точка 
называется Полюсом. Само отображение называется Стереографической проекцией.
Нетрудными геометрическими соображениями выводятся формулы стереографической проекции:
; 
; 
Из формул видно, что 
. 
является гомеоморфизмом 
на 
. Рассмотрим Расширенную комплексную плоскость 
и доопределим проекцию: 
. Открытые множества в 
- это все открытые множества из и, кроме того, все дополнения вида 
, где 
- ограниченное и замкнутое множество в , т. к. по сути всякое такое дополнение есть окрестность бесконечности. Таким образом становится топологическим пространством. Введя метрику, мы получим метрическое пространство 
. Далее мы можем ввести метрику в следующим образом: 
.
Опр: 
-Окрестность точки 
в есть 
.
Опр: называется Бесконечно удаленной точкой расширенной комплексной плоскости. Она сама не является комплексным числом и никакие алгебраические операции с ней невозможны.
Упр: Вывести формулу 
через формулы стереографической проекции (отдельно для ).
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
