Решение:
Векторы 
образуют базис, если 
.
Итак, данные векторы образуют базис.
Решение:
1) Длина ребра А1А2.
Длина отрезка с концами 
и 
определяется по формуле:
.
Тогда найдем длину отрезка А1А2:
.
2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Найдем координаты векторов А1А2 и А1А4:
,
.
Угол между ребрами А1А2 и А1А4 найдем из формулы для определения скалярного произведения двух векторов:
.
.
3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
Поскольку угол между прямой и плоскостью (обозначим его через 
) есть угол между прямой и ее проекцией на плоскость, мы можем рассмотреть угол, дополняющий угол между прямой и ее проекцией на плоскость до 
. Это угол между нормалью к плоскости грани А1А2А3 И А1А4. В качестве нормали возьмем векторное произведение векторов A1A2 и A1A3:
A1A2=(-2;5;5); A1A3=(5-7;9-2;1-2)=(-2;7;-1).
.
.
4) Площадь грани А1А2А3.
SА1А2А3 есть площадь треугольника А1А2А3 и половина площади параллелограмма, построенного на А1А2 и А1А3, которая равна длине вектора 
, вычисленного выше.
.
5) Объем пирамиды.
Чтобы найти объем пирамиды, можно воспользоваться выражением через объем призмы, который равен смешанному произведению векторов, на которых, как на ребрах построена призма.
;
6) Уравнение прямой А1А2.
Направляющим вектором данной прямой является вектор 
, в качестве точки, через которую эта прямая проходит, возьмем точку А1.
Запишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении (то есть имеющей данный направляющий вектор):
.
7) Уравнение плоскости А1А2А3.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
,
Где 
– вектор нормали к этой плоскости.
Вектор нормали к грани А1А2А3 был найден в п. 3: 
. Свободный член 
уравнения плоскости найдем из условия принадлежности ей точки А1.
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:
,
,
Тогда имеем следующее уравнение
или 
.
8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Прямая проходит через точку А4 (2;3;7). Направляющим вектором данной прямой является вектор нормали грани А1А2А3, найденный в п. 3 или п.7. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (с заданным направляющим вектором):
.
Решение:
Сделаем чертеж:
Для высоты 
уравнение стороны, ей перпендикулярной будет иметь вид: 
, а с учетом того, что эта прямая проходит через точку А, получим: 
и уравнение стороны 
.
Для высоты 
уравнение стороны, ей перпендикулярной будет иметь вид: 
, а с учетом того, что эта прямая проходит через точку А, получим: 
и уравнение стороны 
.
Решение
Пусть точка М(х, у) лежит на искомой кривой. Расстояние от нее до оси ординат: у.
Уравнение окружности:
.
Тогда расстояние от М до окружности:
.
Искомая кривая определяется уравнением:
Это парабола
Решение
Если 
, то 
.
По условию
.
Тогда
Решение:
Составим и решим характеристическое уравнение:
Данное уравнение не решается.
Решение
Выпишем матрицу квадратичной формы:
Собственные числа:
.
Собственные векторы:
Матрица перехода:
Тогда сделаем замену:
Подставим в уравнение кривой и преобразовывая его, получим:
Получили уравнение гиперболы.
Решение
1) 
;
2) 
Решение
Построить график функции
Решение
1) Найдем область определения функции:
.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной функцией: 
3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат: у(0)=2.
4) Точки разрыва: нет.
5) Асимптоты:
.
Итак, у=0 – горизонтальная асимптота при 
.
6) Интервалы монотонности функции и экстремумы.
Находим критические точки функции:
.
Функция всюду убывает
7) Интервалы вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба.
Функция всюду в области определения вогнута
Строим график:
Решение
Уравнение касательной:
Уравнение нормальной плоскости:
Кривизна:
Решение
Найдем промежутки монотонности функции:
.
Тогда данная функция возрастает всюду на числовой прямой, следовательно, уравнение будет иметь единственный корень.
.
Тогда корень уравнения лежит на отрезке 
.
.
Итак, на указанном отрезке выполняется неравенство 
. Формулы будут иметь вид:
Итак, в качестве корня берем середину интервала 
.