Решение типового варианта контрольной работы. Ряды
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
А) 
Б) 
В) 
Г) 
Д) 
Е) 
Ж) 
З) 
Решение.
А) В данном случае 
Вычислим 
Следовательно, ряд расходится.
Б) Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция 
, то используем признак Даламбера.
Для рассматриваемого ряда
; 
Вычислим
Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.
В) Так как в записи общего члена ряда есть факториал (
), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда
Вычислим
В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.
Г) Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь 
Вычислим
Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.
Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его
Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.
Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:
Полученный ряд эквивалентен исходному, так как
Таким образом, исходный ряд и ряд 
сходятся и расходятся одновременно. Т. к. ряд 
сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.
Д) Так как 
, то
.
Ряд 
расходится 
, следовательно, исходный ряд также расходится.
Оценим общий член ряда:
.
Ряд 
Ряд 
сходится 
, следовательно, эквивалентный ряд 
также сходится. Т. к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.
Пример2. Найти область сходимости ряда 
.
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:
Ряд сходится, если 
или 
;
или 
,
.
Ряд расходится, если 
.
Неопределенный случай: 
т. е. 
или 
,
Пусть : 
‑ сходится.
Ряд 
сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.
Пусть 
: 
.
Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т. к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
Получили, что 
‑ область сходимости ряда.
Пример 3. Вычислить с точностью 
интеграл 
.
Решение. Запишем разложение функции 
в ряд Маклорена:
+...
Вычислим интеграл
.
Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности 
.
Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши 
.
Решение.
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения 
. По условию задачи 
Выразим из уравнения 
:
Найдем 
, продифференцировав обе части равенства 
по 
:
Окончательно получим:
.
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье
А) 
в интервале (-2, 2):
Б) 
по синусам на интервале 
.
Решение.
Разложение периодической (период 
) функции имеет вид:
А) В нашем примере L=2.
Где 
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
;
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
Аналогично предыдущему
И окончательно получим:
Подставляя полученные значения 
в разложение 
, получим:
Б) Продолжим функцию на отрезок 
нечетным образом (рис. 1).
Рис. 1
Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т. е. 
.
Найдем коэффициенты 
, используя формулу:
Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:
.
Таким образом, 
.