Расчётное задание
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
.
Интегрируем: 
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: 
или 
Ответ:
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид 
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Из введенной подстановки следует, что 
. Следовательно, 
или 
- общее решение данного уравнения.
Ответ:
Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Это уравнение вида 
- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки 
где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные: 
Интегрируя, находим 
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ: 
Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
- уравнение Бернулли.
Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные: 
Интегрируя, находим 
Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
Возвращаясь к функции У, получим 
Ответ: 
Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки 
, тогда 
.
Отсюда 
- линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: 
,
Замена 
где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные: 
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ: 
Задача 6. Найти частное решение дифференциального уравнения.
, 
, 
Решение
Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем 
, где 
- новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:
Получим уравнение первого порядка относительно : 
Разделим переменные и проинтегрируем 
, 
Тогда
или 
Выполним обратную подстановку; 
Используем условия 
, тогда 
.
Тогда уравнение запишется в виде 
Разделим переменные и проинтегрируем 
, 
, 
Получим 
Используем условие , тогда 
.
Окончательно получим: 
Ответ:
Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
Корни характеристического уравнения: 
Так как его корни действительные и кратные отсутствуют, общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
, тогда
, 
.
Подставим в исходное
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и одинаковых функциях в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение 
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение 
Составим характеристическое уравнение 
Его корни 
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
, тогда
, 
. 
Подставим в исходное
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение 
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = - i, r2 = i
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
Тогда окончательно
Ответ: 
Задача 10. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.
Решение
Метод исключения неизвестных.
Продифференцируем по t первое уравнение 
Исключая с помощью второго уравнения 
и с помощью первого уравнения системы, получим
, 
, 
Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
и 
. Следовательно, общее решение для х будет 
.
Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у 
Ответ: 