Решение типового варианта. Производная и дифференциал.
Пример 1.
Найти производные заданных функций
А) 
;
Решение:
;
.
Б) 
;
Решение:
Используем формулу 
.
.
В) 
;
Решение:
Используем формулу 
.
.
Г) 
;
Решение:
Используем формулу 
.
, где 
;
.
Д) 
;
Решение:
Используем формулу 
.
, где 
;
.
Е) 
;
Решение:
Пример 2.
Найти 
:
А) 
.
Решение:
Функция 
в примере задана неявно. Чтобы найти ее производную продифференцируем обе части равенства по X, полагая, что У есть функция от Х и обозначая производную У через 
:
.
Выразим из полученного равенства :
;
.
Б) 
.
Решение:
Аналогично предыдущему примеру:
;
;
.
В) 
Решение:
Используем формулу 
.
.
Пример 3.
Найти 
:
А) 
;
Решение:
;
Б) 
.
Решение:
Пример 4.
Найти дифференциал функции , если 
.
Решение:
Воспользуемся свойством логарифма частного для упрощения формулы:
.
Используем формулу 
.
;
Пример 5.
Составить уравнения касательной и нормали к кривой 
в точке с абсциссой 
.
Решение:
Найдем ординату точки касания:
.
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке 
:
.
Подставляем значения 
и 
в уравнение касательной 
:
,
Получили уравнение касательной 
.
Подставляем значения и в уравнение нормали 
:
,
Получили уравнение нормали 
.