Задание 1. Определить тип кривой 2-го порядка, привести к каноническому виду её уравнение
.
Построить кривую.
Решение. Представим уравнение кривой в виде 
, где 
и 
– её квадратичная форма и линейная часть соответственно. Матрица квадратичной формы 
, 
, значит, кривая параболического типа.
Составим характеристическое уравнение:
,
Откуда 
, 
. Найдём собственные векторы.
При получим, что 
, откуда 
или 
. Пусть 
– базисная переменная, 
– свободная, тогда при 
получим 
, а соответствующий собственный вектор 
. Аналогично, при : 
, откуда 
, т. е. 
, тогда 
.
и 
ортогональны, так как соответствуют различным собственным значениям. Это можно проверить, вычислив непосредственно их скалярное произведение 
. Так как 
, то ОНБ из собственных векторов составят
и 
.
Проведём проверку соответствия ориентации ОНБ 
ОНБ 
. Для этого составим матрицу 
из векторов построенного ОНБ. Если 
, то надо менять и местами, если 
, то ориентации базисов совпадают. В нашем случае ориентации базисов совпадают, так как 
.
В этом базисе квадратичная форма примет вид: 
, при этом 
является матрицей перехода от ОНБ к ОНБ . Связь между координатами в этих базисах выражается соотношениями 
, 
. Подставляя эти разложения в линейную часть уравнения кривой, получим
.
Уравнение параболы примет вид: 
, или 
, т. е. 
, где 
, 
. Её график изображен на рисунке 11.
Ответ: парабола; .
Рисунок 11
Задание 2. Определить тип кривой 2-го порядка, привести к каноническому виду её уравнение
.
Построить кривую.
Решение. Представим уравнение кривой в виде , где 
и 
– её квадратичная форма и линейная часть соответственно. Матрица квадратичной формы 
, её 
, значит, кривая эллиптического типа.
Для нахождения собственных значений составим характеристическое уравнение: 
. Его корни 
, 
. Найдём собственные векторы.
При : 
, откуда получаем, что 
. Если – базисная переменная, – свободная, то, полагая 
, получим 
, тогда 
. Аналогично, при : 
, откуда
, тогда 
.
Собственные векторы и ортогональны 
, а 
, тогда ОНБ составят 
, 
. Проверим соответствие ориентации ОНБ ориентации ОНБ : 
, т. е. ориентации совпадают. В этом базисе 
, 
− матрица перехода от ОНБ к ОНБ . Связь между координатами в разных базисах выражается соотношениями 
, 
. Подставляя эти формулы в линейную часть уравнения кривой, получим
,
Тогда уравнение кривой в новой системе координат примет вид: 
или 
, т. е. 
, где 
, 
.
График кривой изображен на рисунке 12.
Ответ: эллипс; .
Рисунок 12