Задача 25. Вычислить неопределенный интеграл
Решение. Если интеграл 
не может быть вычислен непосредственно по формулам интегрирования элементарных функций, то во многих случаях введение новой переменной T позволяет преобразовать подынтегральное выражение f(X) DX к такому виду, интегрирование которого можно провести либо по таблице, либо известным приемом.
Независимую переменную X заменим по формуле
Где 
– дифференцируемая функция.
Затем определим
,
И 
.
Полученная формула носит название формулы замены переменной в неопределенном интеграле.
В данном примере, согласно методу замены переменной (подстановки) получаем
Задача 26. Вычислить интеграл
Решение. Вычислим данный интеграл методом интегрирования по частям.
Формула интегрирования по частям
Предполагает, что 
в правой части может быть вычислен легче, чем исходный интеграл.
Приведем следующие рекомендации для применения метода интегрирования по частям.
1. Понижение степени многочлена PN(X) в интеграле типа:
Обозначение многочлена PN(X) через U приводит к понижению степени многочлена в .
2. Избавление от трансцендентных функций в интегралах типа:
В результате обозначения трансцендентных функций через U в эти функции будут отсутствовать.
В данном примере через U целесообразно обозначить трансцендентную функцию 
. В итоге получим:
Задача 27. Вычислить интеграл
Решение. В данном примере интегрирование по частям применяют несколько раз:
Задача 28. Вычислить определенный интеграл
Решение. Сделаем подстановку. Пусть 
. Тогда 2х+5=Z3; 2Dx=3Z3Dz; Dx=3/2Z2Dz. Определим пределы интегрирования для переменной Z. При Х=-2 получаем Z=1, при Х=11 получаем Z=3.
Выразив подынтегральное выражение через Z и переходя к новым пределам получим
Так как разность кубов 
, то, сократив на знаменатель, получим
Задача 29. Вычислить площадь поверхности эллипсоида, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса:
(1)
Решение. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой Y=F(X) между точками с абсциссами Х=а и Х=B, вычисляется по формуле
(2)
Из уравнения эллипса (1) находим 
. Производная 
. Используя формулу (2), получим
Чтобы вычислить последний интеграл, положим 
. Тогда Z=0 при Х=0 и Z=p/4 при Х=2. Имеем
Задача 30. Вычислить несобственный интеграл 
или установить его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция 
имеет бесконечный разрыв при Х=1, т. е. в точке, принадлежащей интервалу интегрирования. Данный интеграл является несобственным. Если подынтегральная функция F(X) интеграла 
имеет бесконечный разрыв при Х=с, где А<С<B, а во всех других точках отрезка [A,B] непрерывна, то по определению полагают:
(*)
Если оба предела в правой части(*) существуют, то интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из указанных пределов не существует, то интеграл называется расходящимся.
Следовательно, данный интеграл – сходящийся.
Замечание. Равенство (*) можно использовать для каждой отдельной точки разрыва, принадлежащей интервалу (A,B).