Операционное исчисление
Вариант 4
Задача 1А. Найдите изображения функций 
и 
Решение
Используем таблицу изображений: 
, 
, 
. Тогда 
Используем таблицу изображений: 
, 
, 
. Тогда 
Задача 2А. Найдите оригиналы для изображений 
. 
Решение
Приведём изображение к виду 
Тогда, используя таблицу изображений: 
Разложим дробь 
на простые дроби
Тогда, используя таблицу изображений: 
Задача 3А. Найдите изображение функции 
Решение
Построим вспомогательную функцию 
Это равенство справедливо, т. к. на промежутке 
Разность, стоящая в квадратных скобках, равна единице. Таким образом, получаем
Имеем далее 
Задача 4А. Решить операционным методом задачу Коши 
. 
Решение
Пусть
тогда 
, 
И приходим к изображающему уравнению 
или 
Переходим от изображения к оригиналу 
Задача 5А. Решите операционным методом задачу Коши 
, 
Решение
Пусть тогда , , 
, 
и приходим к изображающей системе уравнений
Переходим от изображений к оригиналам 
Задача 1В. Найдите изображения функций 
и 
Решение
Используем таблицу изображений: 
, 
. Тогда 
Используем таблицу изображений: 
, 
. Тогда 
Задача 2В. Найдите оригиналы для изображений 
. 
Решение
Разложим дробь 
на простые дроби
Тогда, используя таблицу изображений: 
Разложим дробь 
на простые дроби
Тогда, используя таблицу изображений: 
Задача 3В. Решить операционным методом задачу Коши 
Решение
Пусть тогда , 
И приходим к изображающему уравнению 
или 
Используя теорему запаздывания, находим искомый оригинал у(t), соответствующий изображению 
:
Задача 4В. Решить операционным методом задачу Коши 
. 
, 
Решение
Пусть тогда , 
, 
и приходим к изображающему уравнению 
или 
Разложим дробь 
на простые дроби:
Переходим от изображения к оригиналу 
Задача 5В. Решите операционным методом задачу Коши 
, 
Решение
Пусть тогда , 
, 
, и приходим к изображающей системе уравнений
Решим эту систему уравнений относительно неизвестных 
и 
По формулам Крамера:
Получим 
Переходим от изображений к оригиналам 