Операционное исчисление
Вариант 6
1. Используя свойства преобразования Лапласа, найти изображение для оригинала:
(1)
Решение:
Изображение по Лапласу функции-оригинала 
называется функция
. Принято обозначение: 
или 
Пусть .
Тогда 1) 
2) 
Итак, 
(2)
(3)
(4) - изображение оригинала (1)
Ответ: 
2. Используя свойства преобразования Лапласа, найти оригинал по изображению:
(1)
Решение:
Представим (1) в стандартном виде:
: 
; (1) нельзя разложить на более простейшие дроби
Ответ: 
3. Решить уравнение операторным способом:
(1.1) 
(1.2)
Решение:
Пусть 
- изображение искомой функции 
(2)
- операторное уравнение, равносильное задаче Коши (1.1)-(1.2)
Здесь , где 
Найдем 
- изображение правой части уравнения (1.1)
- функция Хэвисайда
, 
Разложим рациональные дроби на суммы простейших
Итак:
Иначе: 
,
Проверка:
1) Удовлетворение уравнению (1.1)
2) Начальные условия (1.2)
3) Условия сшивания в точке 
Ответ: 
4. Решить систему дифференциальных уравнений:
Решение:
Запишем искомые функции-оригиналы и их изображения:
Из (3.2): 
Из (3.3): 
Подставим в (3.1):
Разложим рациональную дробь на сумму простейших дробей:
Итак, 
Решение системы (1.1)-(1.3): 
Проверка:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Начальные условия:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Ответ: