5. Решить систему уравнений тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса-Жордана, средствами матричного исчисления. Сделать проверку правильности вычисления обратной матрицы.
Решение
По формулам Крамера:
Запишем систему в виде: , BT = (7,-11,0)
Главный определитель:
∆ = 1 • ((-5) • (-2)-(-1) • 1)-(-3) • (2 • (-2)-(-1) • (-3))+2 • (2 • 1-(-5) • (-3)) = -36
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
7 |
2 |
-3 |
|
-11 |
-5 |
1 |
|
0 |
-1 |
-2 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 7 • ((-5) • (-2)-(-1) • 1)-(-11) • (2 • (-2)-(-1) • (-3))+0 • (2 • 1-(-5) • (-3)) = 0
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
1 |
7 |
-3 |
|
-3 |
-11 |
1 |
|
2 |
0 |
-2 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 1 • ((-11) • (-2)-0 • 1)-(-3) • (7 • (-2)-0 • (-3))+2 • (7 • 1-(-11) • (-3)) = -72
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
1 |
2 |
7 |
|
-3 |
-5 |
-11 |
|
2 |
-1 |
0 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 1 • ((-5) • 0-(-1) • (-11))-(-3) • (2 • 0-(-1) • 7)+2 • (2 • (-11)-(-5) • 7) = 36
Выпишем отдельно найденные переменные Х:
, 
, 
Методом Гаусса-Жордана:
Запишем систему в виде:
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
|
X1 |
X2 |
X3 |
B |
|
1 / 1 = 1 |
2 / 1 = 2 |
-3 / 1 = -3 |
7 / 1 = 7 |
Разрешающий элемент равен (1).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
|
X1 |
X2 |
X3 |
B |
|
0 / 1 = 0 |
1 / 1 = 1 |
-8 / 1 = -8 |
10 / 1 = 10 |
Разрешающий элемент равен (-36).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
|
X1 |
X2 |
X3 |
B |
|
0 / -36 = 0 |
0 / -36 = 0 |
-36 / -36 = 1 |
36 / -36 = -1 |
Получили: x1 = 0, x2 = 2, x3 = -1
Средствами матричного исчисления:
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B: BT=(7,-11,0)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=1•(-5•(-2)-(-1•1))-(-3•(2•(-2)-(-1•(-3))))+2•(2•1-(-5•(-3)))=-36
Итак, определитель -36 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
Вычисляем алгебраические дополнения.
, ∆1,1=(-5•(-2)-1•(-1))=11
, ∆1,2=-(2•(-2)-(-3•(-1)))=7
, ∆1,3=(2•1-(-3•(-5)))=-13
, ∆2,1=-(-3•(-2)-1•2)=-4
, ∆2,2=(1•(-2)-(-3•2))=4
, ∆2,3=-(1•1-(-3•(-3)))=8
, ∆3,1=(-3•(-1)-(-5•2))=13
, ∆3,2=-(1•(-1)-2•2)=5
, ∆3,3=(1•(-5)-2•(-3))=1
Обратная матрица
Вектор результатов X: X=A-1 • B
, 
, 
X1=0 / -36=0, x2=-72 / -36=2, x3=36 / -36=-1 ,
XT=(0,2,-1)
Проверим правильность вычисления обратной матрицы. Для этого проверим выполнение равенства А-1*А=Е, где Е – единичная матрица.
- верно
Ответ: , ,
15. Даны координаты точек А и В, векторы 
и 
. Являются ли векторы и перпендикулярными? Найти 
. Коллинеарны ли векторы 
и +?
, 
, 
,
Решение
Векторы и будут перпендикулярными, если их скалярное произведение равно 0. Найдем его: 
Следовательно, векторы и Не перпендикулярны.
По формулам: 
, 
Тогда 
, 
Найдём вектор по формуле 
:
Так в случае пространственной задачи вектора a={ax; ay; az} и b={bx; by; bz} коллинеарны если
|
Ax |
= |
Ay |
= |
Az | |
|
Bx |
By |
Bz |
Проверим данное условие 
. Следовательно, данные векторы не коллинеарны.
25. Даны плоскость 
, вектор 
, точка М. Найти: а) уравнение плоскости 
, проходящей через точку М параллельно плоскости ; б) уравнение плоскости 
, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору : в) канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости .
, 
, 
Решение
А) уравнение плоскости , проходящей через точку М параллельно плоскости ;
Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия параллельности плоскостей следует, что: 
. Поэтому можно положить A=2, B=-1, C=3.
Поэтому уравнение плоскости принимает вид 2x-y+3z+D=0.
Кроме того, так как 
, то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости: 2*(-1)-0+3*2+D=0, D=-4.
Итак, искомое уравнение 2x-y+3z-4=0.
Б) уравнение плоскости , проходящей через начало координат перпендикулярно вектору :
Составим уравнение плоскости по точке 
и вектору нормали 
.
Используем формулу: 
,
Тогда : 
В) канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости .
Нормальным вектором плоскости является вектор 
. Так как искомая прямая перпендикулярна плоскости то Является ее направляющим вектором. Итак, мы знаем координаты точки, лежащей на искомой прямой, и координаты ее направляющего вектора, то есть, можем написать ее канонические уравнения: 
Параметрическое уравнение прямой: 
35. Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
А) 
, б) 
в) 
,
Решение
А) 
,
Б) 
Использвали 
при 
В) 
,
45. Найти производные заданных функций.
А) 
, б) 
в) 
, г) 
, д) 
Решение
А) 
,
Б) 
В)
,
Г) 
Д) 
65. Исследовать функцию 
на экстремум.
Решение
Находим частные производные заданной функции по х и по у: 
Составим систему уравнений:
Точки М1(0;0) и М2(1;-0,5) есть стационарные точки, в которых функция может иметь экстремум. Это есть необходимый признак экстремума.
Для определения достаточного признака экстремума функции с несколькими переменными нужно выяснить, какое значение принимает выражение 
, где 
Выясним: 
Тогда для точки М1(0;0): 
. Следовательно, точка М1(0;0) – не является точкой экстремума.
Для точки М2(1;-0,5): 
. Следовательно, точка М1(0;0) – является точкой минимум, так как A=1>0.
Ответ: 
75. Используя известные разложения, разложить заданную функцию в степенной ряд. Указать радиус сходимости этого ряда.
Решение
Используем стандартное разложение: 
Тогда 
,
Получили ряд 
, 
85. Вычислить неопределённые и определённые интегралы. В пунктах а) и б) сделать проверку.
А) 
, б) 
в) 
, г) 
Решение
А) 
,
Проверка: 
верно
Б) 
Проверка: 
В) 
,
Г) 
95. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций.
, 
Решение
Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:
Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:
,
По формуле 
. В нашем случае 
,
, 
, 
. Получим:
Ответ: 
(кв. ед)
105. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение
- расходится
175. В пункте а) решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, сделать проверку; в пункте б) найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
А) 
, 
,
Б) 
Решение
А) Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
, 
. Интегрируем: 
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: 
.
Используем условие 
Тогда, окончательно, 
Сделаем проверку, подставим в исходное уравнение: 
, 
- верно
Б) Это уравнение вида 
- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки 
где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим 
Окончательно 
185. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, 
, 
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение 
Составим характеристическое уравнение 
Так как его корни действительные (
), общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 
, тогда 
, 
. Подставим в исходное 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему: 
Тогда частное решение 
Общее решение неоднородного примет вид:
Используем условия: ,
Окончательно, 
Ответ: