Задание 1. Линейный оператор 
преобразует векторы 
, 
, 
в векторы 
, 
, 
. Найти матрицу 
линейного оператора.
Решение. Матрицы
, 
и
Связаны между собой соотношением 
, откуда 
.
Так как 
, то 
, а искомая матрица линейного оператора 
.
Ответ: .
Задание 2. Пусть линейный оператор в базисе 
задан матрицей 
. Найти матрицу 
этого линейного оператора в базисе 
, если матрица 
является матрицей перехода от базиса к базису .
Решение. Матрицы и линейного оператора , заданного в разных базисах, связаны между собой соотношением 
. Так как 
, то
.
Ответ: 
.
Задание 3. Линейный оператор в базисе задан матрицей 
. Найти матрицу 
этого линейного оператора в базисе , если 
, 
.
Решение. Связь между матрицами и линейного оператора в разных базисах определяется формулой , где 
– матрица перехода от базиса к базису .
Составим матрицу : 
, тогда 
и, следовательно,
.
Ответ: 
.
Задание 4. Линейный оператор в базисе 
задан матрицей 
. Найти матрицу этого линейного оператора в базисе 
, если 
, 
.
Решение. Матрицы и связаны между собой соотношением , где – матрица перехода от базиса к базису .
Составим матрицу : 
, тогда 
и, следовательно,
Ответ: 
.
Задание 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей 
.
Решение. Для нахождения собственных значений линейного оператора составим характеристическое уравнение 
, т. е. 
. Раскрывая определитель, получим 
, т. е. 
, 
.
По определению 
называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному значению 
, если 
.
Найдём собственные векторы 
и 
, соответствующие собственным значениям и .
При получим: 
, что равносильно такой однородной системе уравнений: 
Если 
– базисная переменная, а 
– свободная, то 
.
При : 
, что равносильно однородной системе уравнений 
Пусть – базисная переменная, – свободная. Примем 
, тогда 
, а следовательно, 
.
Так как собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, то они должны быть линейно независимы. Проверим линейную независимость полученных собственных векторов и 
.
Составим матрицу 
. Так как 
, то собственные векторы и линейно независимы.
Ответ: собственные числа , ; собственные векторы 
, .
Задание 6. Привести матрицу 
линейного оператора к диагональному виду.
Решение. Матрица линейного оператора будет диагональной в базисе из собственных векторов, если такой базис существует. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Запишем характеристическое уравнение: 
, т. е. 
или 
, откуда получаем 
, 
.
Найдём собственные векторы И .
При получим: 
, что соответствует следующей однородной системе уравнений: 
Пусть – базисная переменная, – свободная. Полагая 
, получим 
.
При : 
. Соответствующая однородная система уравнений имеет вид:
Откуда 
. Пусть – базисная переменная, – свободная, примем тогда , а, следовательно, 
.
Собственные векторы 
и 
отвечают различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, т. е. могут составить базис. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов и имеет диагональный вид: 
.
Можно проверить полученный результат. Так как , где матрица в случае перехода к базису из собственных векторов и имеет вид 
, следовательно,
,
Тогда
.
Ответ: .
Задание 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей 
. Построить, если это возможно, базис из собственных векторов и найти матрицу этого линейного оператора в базисе из собственных векторов.
Решение. Запишем характеристическое уравнение:
,
Т. е. 
, 
, откуда получаем 
, 
, 
.
Найдём собственные векторы линейного оператора.
При : 
, тогда соответствующая однородная система уравнений примет вид:
или 
Что равносильно такой системе: 
Пусть и 
– базисные переменные, – свободная. Полагая , получим 
.
При : 
, или, переходя к однородной системе уравнений, получим
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Если 
, то 
.
При получим: 
, и однородная система уравнений примет вид:
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Тогда если , то 
. Найденные собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, значит, существует базис из собственных векторов. Матрица перехода к такому базису 
, тогда
.
Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет вид: 
.
Можно сделать проверку полученных результатов:
.
Ответ: , , ; , , ; матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов .