Задание 1. Составить матрицу квадратичной формы 
.
Решение. В общем виде квадратичная форма аргументов 
и 
задаётся следующим образом:
,
Где 
являются элементами матрицы 
квадратичной формы. Сравнивая заданную квадратичную форму с общим её видом, получим, что 
, 
, 
, 
, 
, 
, т. е. 
.
Ответ: .
Задание 2. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице . Каждая ли из заданных матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?
А) 
; б) 
.
Решение. Матрица квадратичной формы должна быть симметрической, т. е. 
.
а) Матрица не может быть матрицей квадратичной формы, так как 
, т. е. она не является симметрической.
Б) Матрице соответствует некоторая квадратичная форма, так как она является симметрической. Очевидно, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Следовательно, квадратичная форма примет вид
.
Ответ: .
Задание 3. Задана квадратичная форма 
. Найти квадратичную форму 
, полученную из данной линейным преобразованием: 
, 
.
Решение. При невырожденном линейном преобразовании 
матрица квадратичной формы преобразуется в матрицу 
.
Выпишем матрицу заданной квадратичной формы: 
. Матрица заданного линейного преобразования 
, тогда 
. Следовательно,
,
т. е. 
.
Можно сделать проверку полученного результата непосредственной подстановкой в заданную квадратичную форму формулы преобразования координат:
.
Ответ: .
Задание 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму 
.
Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы: 
. Диагонализация матрицы квадратичной формы происходит в ОНБ из собственных векторов. Если 
– матрица перехода к такому базису, то координаты вектора 
в разных базисах связаны между собой соотношением:
,
Где в столбцах матрицы находятся координаты векторов ОНБ из собственных векторов, соответствующих собственным значениям.
Составим характеристическое уравнение:
,
Значит, собственные значения 
, 
, 
.
Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.
При : 
, откуда получаем однородную систему уравнений 
тогда 
.
При : 
, т. е. 
тогда 
.
При : 
, откуда получаем однородную систему уравнений
Из системы следует, что – свободная переменная. Примем 
, тогда
.
Векторы 
, 
, 
попарно ортогональны (в этом легко убедиться непосредственно!), тогда ОНБ составят векторы
, 
, 
.
Матрица перехода от ОНБ 
к ОНБ 
примет вид:
.
Замечание. О том чтобы матрица оказалась симметрической, следует помнить при построении собственных векторов , И .
Формулы перехода от координат 
к координатам 
:
, 
, 
.
Канонический вид заданной квадратичной формы:
.
Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений.
Ответ: .
Задание 5. Установить знакоопределённость квадратичной формы 
.
Решение.
Метод 1. Если все собственные значения 
, то квадратичная форма 
положительно определённая; если все 
– отрицательно определённая. Найдём собственные значения квадратичной формы. Для этого составим её матрицу:
И характеристическое уравнение:
Его корни 
, 
, т. е. все 
, а следовательно, квадратичная форма положительно определённая.
Метод 2. Знакоопределённость квадратичной формы можно установить и с помощью критерия Сильвестра, в соответствии с которым квадратичная форма положительно определённая, если все главные диагональные миноры матрицы положительны, т. е. 
, 
, …, 
, а если знаки этих миноров чередуются, т. е. 
, 
, 
, …, то квадратичная форма – отрицательно определённая.
Для данной квадратичной формы имеем:
, 
, 
, т. е. заданная квадратичная форма положительно определённая.
Ответ: квадратичная форма положительно определённая.