А=21
Задача 1. Исследовать ряд на сходимость с помощью необходимого условия сходимости
.
Решение:
По необходимому условию сходимости общий член ряда должен стремиться к 0. Имеем:
.
Следовательно, данный ряд расходится.
Задача 2. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера:
А) 
; б) 
.
Решение:
А) 
. Тогда ряд сходится
Б) 
. Тогда ряд сходится
Задача 3. Исследовать ряд на сходимость с помощью признаков сравнения
А) 
б) 
Решение:
А) Сравним данный ряд с рядом 
:
.
Ряд является обобщенным гармоническим рядом 
, тогда он сходится. По признаку сравнения в предельной форме исходный ряд также сходится.
Б) Сравним данный ряд с рядом 
:
.
Ряд является обобщенным гармоническим рядом 
, тогда он расходится. По признаку сравнения в предельной форме исходный ряд также сходится.
Задача 4. Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость:
А) 
; б) 
Решение:
А) То, что абсолютной сходимости нет, было показано в задаче 3 (б). Условная сходимость выполняется по признаку Лейбница: последовательность 
монотонно убывает к 0.
Б) Исследуем на абсолютную сходимость по признаку Даламбера:
.
Итак, данный ряд сходится абсолютно.
Задача 5. Найти радиус и область сходимости степенного ряда:
.
Решение:
Радиус сходимости:
.
Итак, ряд сходится при 
. Исследуем сходимость на концах интервала:
– сходится по признаку Лейбница;
– расходится (показано в задаче 3(б)).
Итак, ряд сходится при 
.
Задача 6. Разложить в ряд Маклорена функцию 
, используя стандартные разложения функций 
в степенной ряд:
А) 
; б) 
; в) 
.
Решение:
А) 
;
Б) 
В) 
, тогда
Задача 7. Вычислить приближенно 
с точностью 
, используя разложение функции 
В степенной ряд.
Решение:
Известно разложение:
Задача 8. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенный интеграл с точностью 
.
Решение:
Известно разложение:
Задача 9. Разложить в ряд Фурье 
-периодическую функцию
Решение:
Разложение в ряд Фурье -периодической функции имеет вид:
Итак,
.
Задача 10. Разложить в ряд Фурье по синусам с периодом 
функцию , заданную на 
.
Решение:
Так как функцию нужно разложить по синусам, то предполагаем ее продление на интервале 
нечетным образом. Тогда
Итак,
.
Задача 11. Разложить в ряд Фурье по косинусам с с периодом функцию , заданную на .
Решение:
Так как функцию нужно разложить по косинусам, то предполагаем ее продление на интервале четным образом. Тогда
Итак,
.
Задача 12. Найти 
, если 
.
Решение:
Задача 13. Найти модуль и аргумент комплексного числа 
и записать 
в тригонометрической и показательной формах.
Решение:
Тогда тригонометрическая форма:
.
Экспоненциальная форма:
.
Задача 14. Для функции 
найти ее действительную и мнимую части и проверить на аналитичность:
а) 
; б) 
.
Решение:
А) Пусть
Функция аналитическая, если выполняются условия Коши-Римана:
.
Итак, условия Коши-Римана выполнены, тогда данная функция аналитическая.
Б) Пусть
Функция аналитическая, если выполняются условия Коши-Римана:
.
Итак, условия Коши-Римана выполнены, тогда данная функция аналитическая.
Задача 15. А) Вычислить вычеты функции 
в ее изолированных особых точках. б) С помощью вычетов вычислить интеграл (обход контура против часовой стрелки):
,
Где 
– круг 
.
Решение:
А) Особыми точками данной функции будут точки 
. Первая будет полюсом второго порядка:
Вторая точка будет простым полюсом:
Вычислим вычеты в найденных точках:
Б) В круг попадают обе особые точки: 
. Тогда
.
Задача 16. Найти изображение функции 
, используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа.
А) 
; б) 
.
Решение:
Согласно таблицы преобразований Лапласа:
Тогда в силу линейности преобразования Лапласа:
А) 
;
Б) 
.
Задача 17. Решить задачи Коши с помощью преобразования Лапласа:
А) 
б) 
Решение:
А) 
Итак, решением задачи Коши будет функция 
.
Б)
Итак, решением задачи Коши будет функция 
.