Контрольная работа
Задача 1
Найти общее решение дифференциального уравнения и выделить частное решение, удовлетворяющее начальному условию.
Решение
Перепишем данное уравнение так: 
Это уравнение вида 
- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки 
где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим 
Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим 
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И: 
Возвращаясь к функции У, получим 
Используя начальное условие 
находим С: 
.
Тогда окончательно: 
Ответ:
Задача 2
Найти общее решение дифференциального уравнения и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки 
, тогда 
.
Отсюда 
- уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: 
, 
.
Обратная подстановка , получим 
, тогда
Используем начальное условие 
.
Получим 
. Тогда
,
Используем начальное условие 
.
Окончательно: 
Ответ:
Задача №3
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (
).
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение 
. Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
следовательно, решение однородного уравнения 
.
Частное решение неоднородного уравнения 
ищем в виде 
. Далее имеем 
, 
Подставляя 
в исходное уравнение, получим:
Тогда частное решение будет иметь вид 
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид 
.
Постоянные 
и 
находим из начальных условий:
Тогда окончательно 
.
Ответ:
Задача №4
Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. 
Решение
Рассмотрим характеристическое уравнение:
;
Подставим найденные значения корней характеристического уравнения в систему линейных алгебраических уравнений относительно 
, 
.
Для 
имеем
;
(второе уравнение есть следствие первого). Возьмем, например, 
; тогда 
. Полагая 
, найдем 
; 
. Итак, для получим 
; 
.
Для 
Имеем
;
(второе уравнение есть следствие первого). Возьмем, например, ; тогда 
. Полагая , найдем ; 
. Итак, для получим 
; 
.
Фундаментальная система решений:
Для : ; .
Для : ; .
Следовательно, общее решение системы имеет вид
; 
.
Ответ: ; .
Задача №5
Решить уравнение колебаний струны методом Фурье.
:
:
Решение
Решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны имеет вид: 
, где
, 
.
Находим
.
Интеграл 
берем по частям; 
, 
, откуда 
, 
; следовательно;
.
Итак,
Окончательно, получим 
. Далее, находим
Окончательно получим 
.Таким образом, искомая функция имеет вид: 
Ответ:
Задача №6
Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных. Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 5 деталей окажется не более одной стандартной.
Решение
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 деталей из 10 
.
Число благоприятствующих исходов равно числу возможных вариантов извлечения либо 5 нестандартных деталей либо 1й стандартной и 4х нестандартных, то есть 
По формуле классического определения вероятности: 
Ответ: 
Задача №7
Вероятность появления события А при одном испытании равна 0,1. Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях оно появится: 1) не менее двух раз; 2) хотя бы один раз.
Используем формулу Бернулли:
В нашем случае p=0.1, q=1-0.1=0.9. n=3. Тогда:
1) P(k≥2)=P(2,3)+P(3,3)
Имеем P(k≥2)=0,027+0,001=0,028
2) Искомую вероятность будем искать используя вероятность противоположного события. Найдём вероятность того, что из 3х испытаний событие А не появится ни в одном случае.
Имеем:
Тогда, вероятность того, что при трех независимых испытаниях событие А появится хотя бы один раз P=1-0.9³=1-0,729=0,271
Задача №8
Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщин (предполагая, что число мужчин и женщин в городе одинаково)?
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
В нашем случае p=q=0.5. n=100, k=32. Тогда 
; 
Ответ: 
Задача №9
Заданы математическое ожидание 
и среднее квадратичное отклонение 
нормально распределенной случайной величины 
. Найти: 1) Вероятность того, что примет значения, принадлежащие интервалу 
; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения 
окажется меньше 
.
=9, =4, 
=15, 
=15, 
=18
Решение
1) найдём вероятность того, что X примет значение из интервала (α;β) ;
P(α<X<β)=Ф
- Ф
P(15<X<15)=Ф
- Ф=Ф(1,5) – Ф(1.5)=0
2) найдём вероятность того, что X отклонится (по модулю) от А не более, чем на δ ;
Воспользуемся формулой : P(|X-a|<δ)=2Ф(δ/σ)
В нашем случае : P(|X-9|<18)=2Ф(18/4)=2Ф(4,5)=2×0.4999=0.9998
Задача №10
Случайная величина 
задана функцией распределения 
. Найти плотность распределения вероятностей 
, математическое ожидание 
, дисперсию 
, вероятность 
.
Решение
Дифференциальную функцию F(x), Получаем дифференцируя функцию F(x):
Математическое ожидание случайной величины X: 
Дисперсия случайной величины X: 
Определим вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (0; 0,5).
P(X1 £ X < X2) = F(X2) - F(X1) = F(0,5) - F(0) = 
– 0 = 1/5
P(0£ X < 0,5)=0,2
Задача №11
Найти доверительные интервалы, для оценки математического ожидания 
нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю 
, объем выборки 
и среднее квадратичное отклонение .
=75,15, =8, 
=64
Решение
Требуется найти доверительный интервал 
(*)
Все величины, кроме T, известны. Найдем T из соотношения 
. По таблице находим T=1,96. Подставим в неравенство T=1,96, =75,15, =8, П=64 в (*).
Окончательно получим искомый доверительный интервал
Ответ:
Задача №12
Найти выборочное уравнение прямой 
Регрессии 
на 
по данной корреляционной таблице.
|
|
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
|
|
25 |
3 |
4 |
- |
- |
- |
- |
7 |
|
35 |
- |
6 |
3 |
- |
- |
- |
9 |
|
45 |
- |
- |
6 |
35 |
2 |
- |
43 |
|
55 |
- |
- |
12 |
8 |
6 |
- |
26 |
|
65 |
- |
- |
- |
4 |
7 |
4 |
15 |
|
|
3 |
10 |
21 |
47 |
15 |
4 |
|
Решение
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Найдем необходимые числовые характеристики:
Выборочные средние:
(25(3 +4)+35(6+3)+45(6 + 35 + 2) + 55(12 + 8 + 6) + 65(4 + 7 + 4))/100 = 48.3
(15(3)+20(4+6)+25(3+6+12)+30(35+ 8 + 4) + 35(2 + 6 +7) + 40(4))/100=28.65
Дисперсии:
σ2x=(252(3+4)+352(6+3)+452(6+35+2)+552(12+8+6)+652(4+7+4))/100- 48.32=112.11
σ2y=(152(3)+202(4+6)+252(3+6+12)+302(35+8+4)+352(2+6+7)+402(4))/100-28.652=27.93
Откуда получаем среднеквадратические отклонения: σx = 10.59 и σy = 5.28
И ковариация:
Cov(x, y) = (25•15•3+25•20•4 + 35•20•6 + 35•25•3 + 45•25•6 + 55•25•12 + 45•30•35 + 55•30•8 + 65•30•4 + 45•35•2+55•35•6+65•35•7+65•40•4)/100-48.3•28.65 = 40.96
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
И вычисляя, получаем: yx = 0.37 x + 11.01
Ответ: yx = 0.37 x + 11.01