Тема 1. Диференційне числення функцій багатьох змінних.
Завдання 1. Знайти частинні похідні 
та 
функції 
.
Решение
Найдём и :
, 
Завдання 2. Знайти частинні похідні 
, 
та 
функції 
.
Решение
Найдём , и :
, 
, 
Завдання 3. Знайти частинні похідні 2-го порядку 
, 
, 
, 
та перевірити, що 
: 
.
Решение
Найдём , , , :
, 
,
, 
,
, 
.
Тогда имеем , то есть 
Завдання 4. Дослідити функцію на екстремум 
Решение
Найдем 
Решив систему уравнений 
получим стационарную точку 
, то есть 
.
В этой точке выполнены необходимые условия экстремума. Найдем вторые частные производные
Вычислим 
. Так как 
, то точка является точкой локального минимума.
Тема 2. Подвійні, потрійні, криволінійні та поверхневі інтеграли.
Завдання 5. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмежений вказаними лініями:
А) 
, де 
.
Б) 
, де 
.
В) 
, де 
.
Решение
А) Изобразим данную область D:
Перейдём от двойного интеграла к повторному и вычислим его:
Ответ: 
Б) Изобразим данную область D:
Перейдём от двойного интеграла к повторному и вычислим его:
Ответ: 
В) , де .
Перейдём от двойного интеграла к повторному, для этого перейдём к полярным координатам 
. Тогда
Ответ: 
Завдання 6. За допомогою потрійного інтегралу знайти об’єм області V, обмеженої поверхнями:
А) 
.
Б) 
.
Решение
А) Изобразим данное тело:
Проекция тела на плоскость 
:
Тогда по формуле 
объем тела равен
Ответ: 
.
Б) Изобразим данное тело:
Тогда по формуле
Перейдём к циллиндрическим координатам: 
Объем тела равен
Ответ: 
Завдння 7. Обчислити криволінійні інтеграли 1-го роду по вказаним лініям L:
А) 
, де 
Б) 
, де 
.
Решение
А) По формуле
В нашем случае:
Ответ: 
Б)
, 
.
По формуле 
Ответ: 
Завдння 8. Обчислити криволінійні інтеграли 2-го роду:
А) 
, де 
від точки 
до 
Б) 
, де 
від точки 
до 
.
Решение
А) Y=X2 Þ Dy=2Xdx, XÎ[0;1].
Ответ: 
Б) 
від точки до .
- параметрические уравнения кривой L (T изменяется от 0 до 
)
, 
. Тогда
Ответ: 
Завдання 9. Знайти 
та 
: 
Решение
Найдём 
. Тогда, по формулам,
Завдання 10. Знайти потік векторного поля 
через зовнішню сторону циліндричної поверхні 
та площинами 
. Застосувати теорему Остроградського–Гаусса.
Решение
Поток данного векторного поля через поверхность 
по теореме Гаусса-Остроградского равен: 
,
, где 
.
Тогда 
Перейдем к цилиндрической системе координат:
, 
, 
Ответ: 
Завдання 11. Знайти градієнт скалярного поля 
.
Решение
По формуле , тогда
Завдання 12. Довести, що векторне поле 
є потенціальним та знайти його потенціал.
Решение
Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия: 
В нашем случае 
Следовательно, поле 
потенциальное. Найдем его потенциал И, считая, что И(0;0;0) = 0:
Ответ: 
Тема 3. Диференціальні рівняння.
Завдання 13. Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння з відокремлювальними змінними.
Решение
Данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
.
Тогда 
- искомый общий интеграл.
Ответ:
Завдання 14. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння 1-го порядку.
Решение
Данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение.
Выполним замену 
, тогда 
. Подставим в исходное:
, 
.
Пусть функция 
такова, что сумма в скобках обращается в ноль. Решим уравнение 
.
Подставляя ее в уравнение 
, получим
,
Окончательно: 
.
Ответ: 
Завдання 15. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння 1-го порядку
Решение
Данное уравнение – однородное дифференциальное уравнение.
Положим Y=Zx. Тогда Dy=Xdz+Zdx, сократив на 
и собрав члены при Dx и Dz получим:
Разделим переменные: 
.
Интегрируя, получим 
;
Или 
Заменив здесь Z на 
, получим общий интеграл заданного уравнения в виде 
.
Ответ:
Завдання 16. Знайти загальний розв’язок лінійного ДР 2-го порядку с постійними коефіцієнтами:
а)
, б)
, в)
.
Решение
А),
Характеристическое уравнение будет 
.
Его корни 
. Общее решение будет 
.
Б),
Характеристическое уравнение будет 
.
Его корни 
. Общее решение будет 
.
В).
Характеристическое уравнение будет 
.
Его корни 
. Общее решение будет 
.
Завдання 17. Розв’язати задачу Коші:
Решение
Соответствующее однородное 
Характеристическое уравнение 
.
Общее решение однородного уравнения 
Частное решение заданного уравнения ищем в виде 
, тогда 
, 
- подставим в исходное уравнение.
.
Тогда частное решение примет вид:
Общее решение исходного уравнения: 
.
Используем начальные условия: 
. Тогда
, 
Для отыскания 
- решим систему уравнений:
Тогда, окончательно, 
Ответ: