Вариант 8
1. Найти неопределённые интегралы:
А)
б) 
в) 
г) 
Решение
А)
Б) 
в) 
Г) 
2. Вычислить определённые интегралы:
А) 
Б) 
в) 
г) 
Решение
А) 
Б) 
в) 
г) 
3. Найти общие решения дифференциальных уравнений
А) 
б) 
Решение
А)
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
. Интегрируем: 
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: 
или 
Ответ:
Б)
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
. Интегрируем: 
Посчитаем интегралы отдельно:
,
Тогда: 
или 
Ответ:
4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Решение
Перепишем данное уравнение в виде 
Это уравнение вида 
- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки 
где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
. Интегрируя, находим 
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ: 
5. Найти решение задачи Коши 
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки 
, тогда 
.
Отсюда 
- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные: 
. Интегрируя, находим
Возвращаясь к функции у, получим 
Найдём значения 
используя начальные условия
. Тогда 
Получили систему уравнений
Тогда, окончательно:
Ответ: 
6. Решить уравнение: 
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
. Корни характеристического уравнения:
K1 = 1, k2 = 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = ex , y2 = e2x/
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
Рассмотрим правую часть: f(x) = xex
Уравнение имеет частное решение вида: 
Вычисляем производные:
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид: 
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 
Ответ: