4.21 Проверить, что заданная функция удовлетворяет заданному соотношению
, 
Решение
Найдём производные
,
, 
Подставим в данное уравнение и преобразуем
,
,
- верно
6.21 С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции в заданной точке
, 
Решение
Приближенное значение некоторой функции f(x, y) в точке (x, y) с помощью полного дифференциала находится по формуле (*)
, где 
, значение функции f(x, y) в точке 
.
Точка Подбирается таким образом, чтобы Легко вычислялось; 
, 
Приращение функции f(x, y) в точке По переменным x и y соответственно.
В качестве точки Возьмем точку N(5,3), так как значение x и y в точке N целые и точка N близка к данной точке M.
Тогда 
В точке N: 
В точке N: 
, 
8.21 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке
Решение
Имеем 
Тогда 
Тогда, по формуле 
- уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке. В нашем случае 
то есть 
, а уравнение нормали по формуле 
примет вид
9.21 Найти экстремумы функций
Решение
Определим стационарные точки из системы
Откуда имеем единственную действительную стационарную точку: 
Воспользуемся достаточным условием
Таким образом, 
, 
,
То есть, согласно критерию Сильвестра, 
представляет собой положительно определённую квадратичную форму. Следовательно, в точке 
функция имеет минимум.