«Элементы аналитической геометрии»
Задание 1.
Даны векторы 
. Необходимо:
А) вычислить смешанное произведение трех векторов A, B, 5C;
Б) найти модуль векторного произведения векторов 3C, B;
В) вычислить скалярное произведение двух векторов A, 3B;
Г) проверить, будут ли коллинеарными или ортогональными два вектора A, B;
Д) проверить, будут ли компланарны три вектора A, B, C.
Решение:
А) Так как 
, то
Б) Поскольку 
, то
.
В) Находим: 
Г) Так как 
и 
, то векторы 
и 
не коллинеарны. Поскольку 
, то векторы и не ортогональны;
Д) векторы A, B, C компланарны, если их смешанное произведение равно нулю, т. е. 
. Вычисляем
,
Т. е. векторы A, B, C не компланарны.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
;
Г) векторы и не коллинеарны и не ортогональны; д) векторы A, B, C не компланарны.
Задание 2.
Даны вершины треугольника 
. Найти:
А) уравнение стороны АВ;
Б) уравнение высоты СН;
В) уравнение медианы АМ;
Г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;
Д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;
Е) расстояние от точки C до прямой AB.
Построить все точки и линии, данные в задаче и полученные в ходе решения задачи.
Решение:
А) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки
,
Получим уравнение стороны АВ:
.
Откуда
или 
.
Б) Используя уравнение прямой
Найдем угловой коэффициент прямой АВ
Тогда 
. С учетом условия перпендикулярности прямых АВ и СН (
) угловой коэффициент высоты СН: 
.
Используя уравнение прямой проходящее через точку с угловым коэффициентом
Составим уравнение высоты СН. По точке С(2, 7) и угловому коэффициенту составляем уравнение высоты СН :
или 
.
В) По формулам координат середины отрезка
Находим координаты Х, у середины М отрезка ВС:
.
Теперь по двум известным точкам A и М составляем уравнение медианы AM:
или 
.
Г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты СН составляем систему уравнений
Решая ее, получаем 
;
Д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны . Тогда, согласно уравнению
,
По точке С и угловому коэффициенту 
составляем уравнение прямой CD:
или 
.
Е) Расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем по формуле:
.
Тогда
.
Построим координаты вершин треугольника, все точки и прямые найденные при решении данной задачи в прямоугольной системе координат (рис. 1).
Ответы: а) стороны АВ ,
б) высоты СН ,
в) медианы AM ,
г) ,
д) прямой CD ,
е) 
.
Задание 3.
Составить канонические уравнения:
А) эллипса; большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке F(
, 0). Т. е. A = 3, F(, 0).
Б) гиперболы с мнимой полуосью, равной 2, и фокусом F(-
, 0). Т. е. B = 2, F(-, 0).
В) параболы, имеющей директрису X = - 3. Т. е. D: X = - 3.
Где F - фокус, A - большая (действительная) полуось, B - малая (мнимая) полуось, D - директриса кривой.
Решение:
А) Каноническое уравнение эллипса имеет вид
По условию задачи большая полуось 
. Для эллипса выполняется равенство 
. Подставив в него значения 
и 
, найдем 
. Тогда искомое уравнение эллипса
Б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
По условию мнимая полуось 
. Для гиперболы справедливо равенство 
. Поэтому 
. Записываем искомое уравнение гиперболы:
В) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид
,
А уравнение ее директрисы 
. Но по условию задачи уравнение директрисы 
. Поэтому 
и искомое каноническое уравнение параболы имеет вид
Ответ: а).
б).
в).
1. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов/Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Под ред. Проф. Кремера Н. Ш. – М.:Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 439 с.
2. Шипачев В. С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа. 1996. - 479 с.
3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1. - М.: Высш. шк., 1986.
4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1986.
5. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. В 2-х частях. Высшая школа, 1982.
6. Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. - М.: Высш. шк., 1986.