Решение
Изобразим дугу, массу которой нужно найти. В декартовой системе координат 
построим линию 
Рис. 1
Применяем формулу вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:
Формула 
позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:
Так как 
, получаем
Ответ: 
Решение
Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти. В декартовой системе координат построим линии 
, 
.
Рис. 2
Область 
, ограниченная этими линиями на рис.2 заштрихована. Далее необходимо определиться с порядком интегрирования и определить пределы интегрирования переменных. Найдём абсциссы точек пересечения линий , . Для этого решим систему:
,
.
, 
Площадь фигуры вычисляется по формуле
Порядок интегрирования – сначала по x, затем по y, следовательно, область определяется неравенствами 
, 
. Искомая площадь будет равна:
Ответ: 
Решение
Изобразим тело, объём которого нужно найти.
- шар, радиус равен 2, центр в начале координат.
- 2 цилиндрические поверхности
Рис. 3
Перейдём к цилиндрическим координатам по формулам:
, 
, 
Тогда уравнение шара примет вид: 
или 
,
Уравнение примет вид
или 
Поскольку левая часть уравнения кривой всегда положительна, то 
. Воспользуемся полярными координатами 
или 
, откуда 
и 
Часть поверхности шара вырезанная частью проектируется на плоскость хОу в область - лемниската Бернулли (Рис. 4)
Рис. 4
Найдём объём четвёртой части искомого тела 
по формуле
Область: 
: 
, 
, 
Тогда 
Ответ: 
Решение
Изобразим фигуру, массу которой нужно найти (Рис. 5).
Рис. 5
По формуле 
Необходимо определиться с порядком интегрирования и определить пределы интегрирования переменных.
Порядок интегрирования – сначала по x, затем по y, следовательно область определяется неравенствами 
, 
. Искомая масса будет равна:
Ответ: 
Решение
Изобразим плоскую фигуру, координаты центра тяжести которой нужно найти. 
, 
- параболы (Рис. 6)
Рис. 6
Так как пластина однородна, т. е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
Тогда 
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий , . Для этого решим систему:
,
.
Имеем 
, 
. Тогда
Соответственно
Тогда 
Ответ: Центр тяжести в т. 
Решение
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy:
В данном случае V: 
,
,
. Подставим в формулу:
Ответ: 
Решение
Изобразим ломаную ОСВ:
Рис. 7
По формуле работа силы 
, действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):
Параметризируем отрезок ОС
Параметризируем отрезок CB
от 1 до 0
Тогда
Ответ: 