Найти решение задачи Коши.
Решение
Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию 
и её производную 
в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку 
, где 
и 
- некоторые неизвестные функции аргумента 
. Если , то 
и данное уравнение примет вид 
, или 
. (1)
Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию так, чтобы имело место равенство 
(2)
При таком выборе функции уравнение (1) примет вид 
. (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:
; 
; 
;
; 
, 
.
Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для 
, получим: 
; 
; 
; 
.
Интегрируя, получаем 
. Тогда 
- общее решение данного уравнения.
Используем начальное условие , Тогда 
Окончательно получим: 
Ответ:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Общее решение данного уравнения имеет вид: 
.
Найдём 
. Для этого решим соответствующее однородное уравнение 
. Составляем характеристическое уравнение: 
. Корнями этого уравнения являются 
и 
. Т. к. решения действительные числа, то 
.
Теперь найдём 
. Правая часть 
. Тогда 
.
Найдём производные первого и второго порядка от .
, 
.
Подставим в исходное уравнение , 
и 
. Тогда
Или 
Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых и получаем систему уравнений:
Тогда 
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения: 
.
Дан степенной ряд 
Написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Числа А, B и K даны. 
Решение
Имеем 
Для нахождения интервала сходимости применим признак Даламбера для соответствующего положительного ряда (в интервале сходимости степенной ряд сходится абсолютно). Имеем, 
По признаку Даламбера ряд сходится, если 
и расходится, если 
. Значит интервалом сходимости служит или 
или 
.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Пусть 
, тогда получаем ряд 
- знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница (общий член монотонно стремится к нулю).
Пусть теперь 
, тогда получаем ряд 
. Исследуем его сходимость с помощью интегрального признака. Для этого исследуем на сходимость несобственный интеграл 
. Так как несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Ответ: область сходимости ряда: 
Найти четыре члена разложения функции в ряд Маклорена.
Решение
Запишем данную функцию в виде: 
.
Используем стандартное разложение для функции
. Тогда
. Подставив в данную функцию получим:
Ответ: 
При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции 
являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
Решение
Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:
(4)
Непосредственно из уравнения найдем: 
.
Дифференцируя последовательно обе части уравнения и полагая X = 0 в полученных равенствах, будем иметь:
.
Подставляя в ряд (4) найденные значения 
получим:
.
Найти частные производные второго порядка 
Решение
Найдём частные производные:
, 
Тогда частные производные второго порядка
Найти полный дифференциал функции 
Решение
Найдём частные производные: 
, 
Следовательно, полный дифференциал первого порядка есть 
Исследовать на экстремум функцию
Решение
Находим стационарные точки заданной функции: 
.
Решение системы 
дает 
Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку
.
Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:
.
Как видно, частные производные второго порядка не содержат Х И Y, Они постоянны в любой точке и, в частности, в точке . Имеем А=2; В=-1; С=2.
.
Так как и А>0, то в точке данная функция имеет миниимум: 
.
Ответ: 
Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, 2) вычислить значение 
, ответ записать в показательной и алгебраической формах.
.
Решение
1) Домножим это число на 
в числителе и знаменателе:
― это алгебраическая форма
Найдём модуль комплексного числа: 
Найдём аргумент для тригонометрического представления комплексного числа: 
Следовательно, 
- тригонометрическая форма
- показательная форма.
2) Вычислим значение ,
Для этого найдём тригонометрическую форму числа 
Найдём модуль комплексного числа: 
Найдём аргумент для тригонометрического представления комплексного числа: 
Следовательно, 
- тригонометрическая форма
Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме получим
Тогда
Показательная форма 
Алгебраическая форма 