8. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные)
Решение
Данное дифференциальное уравнение – однородное.
Приведём уравнение к виду: 
Полагаем 
. Тогда 
. Подставляя в уравнение, получим:
- получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
. Интегрируем: 
Следовательно: 
Возвращаясь к старой переменной 
, получим: 
.
Ответ:
38. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные)
Решение
Данное дифференциальное уравнение – однородное.
Приведём уравнение к виду: 
Полагаем . Тогда . Подставляя в уравнение, получим:
- получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
. Интегрируем: 
Следовательно: 
Возвращаясь к старой переменной , получим: 
или
Ответ:
68. Найти частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
, 
, 
Решение
Найдём решение соответствующего однородного уравнения. Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
, 
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: 
, тогда 
,
Подставим в исходное:
, 
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим систему:
,
,
Тогда 
, 
.
Частное решение имеет вид: 
Общее решение будет иметь вид: 
Так как по условию , то 
, 
Так как по условию , а 
то 
, 
Решим систему:
Получим: 
Окончательно: 
Ответ:
78. Найти частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
, 
, 
Решение
Найдём решение соответствующего однородного уравнения. Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
, 
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Уравнение имеет вид 
Найдём частное решение для правой части 
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: 
, тогда 
,
Подставим в исходное:
,
. Следовательно: 
Частное решение имеет вид: 
Найдём частное решение для правой части 
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: 
, тогда 
, 
Подставим в исходное:
,
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим систему:
,
,
Тогда 
, 
.
Частное решение имеет вид: 
Общее решение будет иметь вид:
Так как по условию , то ,
Так как по условию , а то ,
Решим систему:
Получим:
Окончательно:
Ответ: