Задание 1. Перемножить матрицы 
и 
, разбив их на блоки:
, 
.
Решение. Разобьём матрицы 
и на блоки следующим образом:
, 
, где 
, 
, а 
, 
.
Выполним умножение матриц и , представленных в блочном виде, по правилам умножения обычных матриц («строка на столбец»):
.
Пусть в результате умножения получена матрица 
. Тогда
,
,
, 
,
Значит, 
.
Ответ: .
Задание 2. Квадратные матрицы и 4-го порядка разбить на 4 блока – квадратные матрицы 2-го порядка – и выполнить заданные действия:
, 
. Найти 
и 
.
Решение. Пусть в результате разбиения на блоки матрицы и примут вид:
, 
,
Где 
и 
− квадратные матрицы второго порядка, причём
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Найдём . По правилам действий над матрицами имеем:
,
Но 
, 
,
, 
, тогда
.
Пользуясь правилом умножения матриц, найдём :
Обозначим результат умножения матрицей , тогда
,
,
,
.
Таким образом, 
.
Ответ: ; .
Задание 3. Решая СЛАУ 
с помощью блочных матриц, найти 
.
Решение. Представим заданную систему в матричном виде 
. Так как достаточно найти , то разобьём матрицу системы на блоки следующим образом: 
, т. е. 
, 
, 
, 
. Тогда столбец правых частей 
, т. е. 
, 
, а столбец неизвестных 
, т. е. 
, 
.
В этих обозначениях система примет вид: 
Переходя от этого матричного уравнения к поэлементному равенству, получим:
Умножая левую и правую части второго уравнения системы слева на 
, получим 
, откуда 
. Подставим в первое уравнение системы выражение для 
:
или
.
Зная , из последнего равенства найдём .
Так как 
, то
,
Тогда 
и 
, т. е. 
, значит, 
.
Ответ: .
Задание 4. В пространстве 
задан произвольный базис 
, 
. Построить ОНБ. Координаты базисных векторов заданы в ОНБ 
.
Решение. Построение ОНБ начнём с построения ортогонального базиса 
.
Пусть 
, 
, где 
− некоторая константа. Для нахождения умножим равенство, определяющее 
, скалярно на 
: 
. Так как 
, то 
, т. е. 
.
Тогда 
. Таким образом, 
и 
образуют ортогональный базис пространства 
.
ОНБ получим нормировкой ортогонального базиса:
, 
.
Ответ: 
, 
.
Задание 5. В пространстве 
задан произвольный базис 
, 
, 
. Построить ОНБ. Координаты базисных векторов заданы в ОНБ 
.
Решение. Построение ОНБ начнём с построения ортогонального базиса {,
,
}.
Пусть , , 
. Умножая равенство, определяющее , скалярно на , найдём константу 
:
,
Тогда 
Аналогично, умножая равенство, определяющее , скалярно на , найдём 
, а умножая на , найдём 
:
, 
,
Тогда 
.
ОНБ получим, нормируя построенный ортогональный базис:
, 
, 
.
Ответ:
, 
, 
.
Задание 6. В пространстве 
заданы два базиса: 
, 
, 
и 
, 
, 
. Найти матрицу перехода от базиса 
к базису 
. Координаты базисных векторов заданы в ОНБ .
Решение. Рассмотрим матрицы 
и 
, в столбцах которых находятся координаты заданных базисных векторов:
, 
.
Если 
– матрица перехода от базиса к базису , то 
, откуда 
. Так как 
, то
.
Окончательно,
.
Ответ: 
.
Задание 7. В базисе 
пространства 
задан вектор 
, 
– матрица перехода от базиса к базису . Найти разложение 
в базисе .
Решение. Если 
, 
, то 
, а 
, где – матрица перехода от базиса к базису .
По условию 
, 
, . Так как 
, то 
, т. е. 
, 
, а 
.
Ответ: .
Задание 8. В пространстве заданы два базиса: 
, 
и 
, 
. Известно, что 
. Найти разложение в базисе . Координаты базисных векторов заданы в ОНБ .
Решение. Если , , то , а , где – матрица перехода от базиса к базису .
По условию , 
. Матрицу 
найдём из равенства , т. е. 
, при этом 
, 
. Так как 
, то
.
Следовательно, 
, т. е. 
, 
.
Окончательно, 
.
Ответ: .