Дифференциальные уравнения 06

Контрольная работа №7. Вариант 4.

I.  Найти общее решение уравнения

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Е)

Решение

А)

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

Б)

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

В)

Приведём уравнение к виду: ,

Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем

,

Уравнение примет вид ,

Разделяем переменные и интегрируем: , . Посчитаем отдельно:

Тогда .

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде:

Ответ:

Г)

Приведём уравнение к виду: ,

Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем

,

Уравнение примет вид ,

Разделяем переменные и интегрируем: , . Посчитаем отдельно:

Тогда .

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде:

Ответ:

Д)

Приведём уравнение к виду:

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U И V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию V Во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:

Возвращаясь к функции У, получим

Ответ:

Е)

Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Оно имеет вид .

Проверим выполнение условия:

- условие выполняется.

Поэтому - дифференциал некоторой функции . Следовательно данное уравнение может быть записано в виде

При этом, .

Интегрируем первое равенство по х, получим , где - неизвестная функция, которую ещё предстоит найти.

Дифференцируем U по у, имеем

.

Тогда используя то, что , получим или , тогда , и, следовательно,

Ответ:

II.  Решить задачу Коши

,

Решение

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Используем начальное условие

По данному условию невозможно определить значение постоянной С.

Ответ:

III.  Решить уравнения

А)

Б)

Решение

А)

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: , ,

Интегрируя, находим

Получим ,

Возвращаясь к функции У, получим

- функция Доусона

Ответ: , - функция Доусона

Б)

Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где - новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:

Получим уравнение первого порядка относительно :

Разделим переменные и проинтегрируем ,

Посчитаем отдельно

Тогда

Выполним обратную подстановку;

. Интегрируем

Ответ:

IV.  Решить уравнения

А)

Б)

Решение

А)

Составим характеристическое уравнение ,

Так как его корни действительны и кратные (), общее решение исходного уравнения имеет вид .

Ответ:

Б)

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительны и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .

Подставим в исходное

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Ответ:

V.  Решить задачу Коши

,

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительны и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .

Подставим в исходное

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Используем начальные условия

Тогда окончательно

Ответ: