1. Неопределённый интеграл
Найти неопределенные интегралы
Решение
А)
Б)
В)
Применим способ интегрирования по частям
2. Определённый интеграл
А) Вычислить определённый интеграл. 
Б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
, 
и прямой 
.
Решение
А) 
Б) Найдем абсциссы точек пересечения линий
3. Функции двух переменных.
Дана функция двух переменных 
.
А) Найти область определения функции , изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать. 
Б) Проверить, удовлетворяет ли функция указанному дифференциальному уравнению. 
, 
Решение
А)
Б)
4. Экстремумы функции двух переменных
Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области.
Решение
Найдем производные первого порядка
Решим систему уравнений
- стационарная точка
Исследуем функцию в граничных условиях
1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Найти общее решение дифференциального уравнения 
Решение
Найдем решение соответствующего однородного уравнения
Представим С как С(х)
Подставим в исходное уравнение
2. Дифференциальные уравнения второго порядка
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям;
Решение
Пусть 
, тогда
Выполним обратную замену переменных
Найдем 
Найдем 
3. Плоскость и прямая в пространстве
Даны четыре точки: 
. Найти:
А1
, А2
, А3
, А4
Решение
1) Уравнение прямой (
) в канонической форме;
2) уравнение прямой (R), проходящей через точку
Параллельно прямой (А1А2);
3) Тупой угол 
между прямыми () и (
), т. е. 
Найдем каноническое уравнение прямой 
Косинус угла между прямыми
4) Уравнение плоскости (
);
5) Угол 
между прямой () и плоскостью ();
Синус угла между прямой и плоскостью
6) уравнение прямой ( S), проходящей через току 
перпендикулярно плоскости (
);
Найдем уравнение плоскости
Уравнение прямой ( S), проходящей через току
6) Угол 
между плоскостью () и плоскостью ();
Косинус угла между плоскостями
8) уравнение плоскости (Q), проходящей через точку
Параллельно плоскости ().
4. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений
Дана расширенная матрица системы трёх линейных уравнений тремя неизвестными.
Найти: 1) ранг расширенной матрицы и ранг матрицы системы;
2) записать систему в виде матричного уравнения.
3) найти общее решение системы методом полного исключения. 
Решение
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Умножим 1-ую строку на (9). Умножим 2-ую строку на (-4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (-9). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Теперь исходную систему можно записать как:
X2 = [24 - (23x3)]/(-34)
X1 = [-11 - (x2 - 2x3)]/5
Необходимо переменную x3 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x3 к 0
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
5. Теория вероятностей
5.05. Стрелок, имеющий 3 патрона и попадающий в мишень с вероятностью 0,9 при каждом выстреле, стреляет или до первого попадания или пока не израсходует все патроны. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа использованных патронов.
Решение
Применим формулу Бернулли
Закон распределения
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
P |
0,001 |
0,027 |
0,243 |
0,729 |
Математическое ожидание и дисперсия
