Найти частные решения дифференциальных уравнений:
А)
, если 
при 
Решение
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
.
Интегрируем: 
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: 
или 
Используем начальное условие 
:
Тогда окончательно 
Ответ:
Б) 
, 
Решение
Перепишем данное уравнение в виде: 
Это уравнение вида 
- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки 
где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
. Интегрируя, находим 
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Используем начальное условие
:
Тогда окончательно 
Ответ:
1.) В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причём каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий сыграно в этом турнире?
Решение
Ответ: 105 партий.
2) Имеется 8 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
Решение
Выбрать перчатку на левую руку можно 6 способами.
При каждом таком выборе левой перчатки можно 5 способами выбрать правую перчатку, не совпадающую по размеру с выбранной левой.
По правилу произведения то, о чем спрашивается, можно выбрать 6*5=30 способами.
Ответ : 30 способов.
3) Решить систему уравнений:
Решение
Так как 
, то данную систему можно переписать в виде
Решая квадратное уравнение 
находим два корня: 
и 
.
Корень - не подходит по условию, так как 
. Тогда
Ответ: 
Найти частные производные
Решение
Считая Y постоянной и дифференцируя Z как функцию X, получаем частную производную по X:
Аналогично, считая X постоянной и дифференцируя Z как функцию Y, получаем частную производную по Y:
1) Найти полные дифференциалы заданных функций
Решение
Полный дифференциал функции Z = F (X, Y) вычисляется по формуле
Dz = 
.
Найдём частные производные
Тогда Dz = 
.
2) Вычислить приближённо значения данных выражений
Решение
Обозначим Z = F(X,Y)= 
Используем приближенное равенство F(X+∆X, Y+∆Y) ≈ F(X, y) + Df(X, y).
Найдём частные производные 
; 
Полагая Х=8, У=6, получим в точке 
: Z=F(8;6)=
, 
При ∆Х=8,04-8=0,04, ∆У=6,03-6=0,03 найдем дифференциал функции в точке , воспользовавшись формулой для полного дифференциала 
: 
Далее находим приближенное значение данной функции в точке 
: 
Ответ: 
240) 
Решение
Подстановка предельного значения X=0 приводит к неопределенности вида 
. Преобразуем выражение в скобках, получим неопределённость вида 
и раскроем неопределённость с помощью правила Лопиталя, применив его трижды:
241) 
Решение
Подстановка предельного значения X=0 приводит к неопределенности вида . Раскроем неопределённость с помощью правила Лопиталя:
