Дифференциальные уравнения 04

Задача №1. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Решение

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

Задача №2. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение

Приведём уравнение к виду:

Данное уравнение является однородным, Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал , и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Получили

Из введенной подстановки следует, что . Следовательно,

Ответ:

Задача №3. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Решение

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Задача №4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных и методом неопределённых коэффициентов.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Метод неопределённых коэффициентов:

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2+r-2= 0

Корни характеристического уравнения: r1 = 1 и r2 = -2

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:

Y' = , y'' =

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Частное решение имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Тогда окончательно

или

Ответ:

Задача №5. Найти общее решение системы линейных однородных дифференциальлных уравнений методом сведения к одному уравнению.

Решение

Продифференцируем по х первое уравнение

Исключаем с помощью второго уравнения , получим , .

С помощью первого уравнения исключаем z:

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка.

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Из первого уравнения

Ответ:

Задача №6. Для уравнения операционным способом решить задачу Коши с начальными условиями

Решение

Пусть тогда , , . Тогда приходим к изображающему уравнению или

Разложим на простые дроби

Получим

Переходим от изображения к оригиналу

Ответ: