Дифференциальные уравнения 02

Решение типового варианта контрольной работы. Дифференциальные уравнения.

Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

А) .

Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель:, разнесем слагаемые: ; выражая из полученного уравнения убедимся в том, что и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные. .

Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным: .

Получим , .

Таким образом, мы убедились в том, что - общий интеграл заданного уравнения.

Ответ: .

Б).

Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на X.

- Убедимся в том, что производная в представленном уравнении зависит только от отношения , то есть и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены.

Введем новую переменную .

;

;

; проинтегрируем выражение

;

;

;

;

- общее решение уравнения.

Ответ: .

В).

Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

- общее решение уравнения.

Ответ: .

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. - неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения , которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания .

Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, общее решение однородного уравнения: .

будем искать в виде . - частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А. .

. Значит . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения . Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий:

; ;

;

Ответ: .

Задание 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по T:

и заменим воспользовавшись для этого вторым уравнением системы:

. Окончательно .

- однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, решение: . Из первого уравнения , поэтому ;

.

Ответ: ; .

Задание 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Решение. Пусть искомое уравнение кривой. Проведем касательную MN в произвольной точке M(X;Y) кривой до пересечения с осью Оу В точке N. Согласно условию, должно выполняться равенство, но , а найдем из уравнения , полагая X=0, то есть.

Итак, приходим к однородному уравнению .

Полагая Y=Tx (Y’=T’X+T), получим или , откуда – данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является ось Оу.

Определим значение константы С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим ; из двух значений С=0 И С=2 Нас устраивает лишь второе, так как при С=0 Парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение , или .

Ответ: .

Задание 5.

А) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной X, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Ответ. .

Б) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

;

. Учтя, что – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить: .

Ответ. .

В) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной , откуда , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид: . Решение является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем: . Оставшееся уравнение является уравнением в разделяющихся переменных: . Интегрируя последнее равенство, получим . Выразим теперь функцию : . Делая вновь обратную замену , получим: . В данном уравнении можно разделить переменные: . Интегрируя последнее выражение, получим . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.

Ответ. ; .

Задание 6. Решить уравнение .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравнения являются числа , то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид . Правая часть исходного уравнения не позволяет найти частное решение неоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решение в виде: , предполагая, что здесь и (мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), а и Решения следующей системы дифференциальных уравнений:

таким образом .

Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим (постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значение в первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции : . Вновь интегрируя, запишем: .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Ответ. .