Вариант 9
Задание 1.
Записать комплексное число z в алгебраической, показательной и тригонометрической формах.
.
Решение.
Пусть 
. Так как 
.
Найдем 
Следовательно
Тогда
.
Это есть алгебраическая форма числа.
Найдем модуль и аргумент числа z.
.
.
Запишем число в показательной и тригонометрической формах.
.
Ответ: 
.
Задание 2.
Записать в алгебраической форме все элементы множества Е.
.
Решение.
Множество состоит из всех комплексных чисел z таких, что 
.
Известно, что 
.
Обозначим 
. Получаем уравнение:
,
,
Отсюда
.
Ответ: .
Задание 3.
Определить при каких значениях параметра 
, функция 
является мнимой частью некоторой регулярной функции 
. Восстановить .
Решение.
Определим параметр .
Из условия 
.
, 
,
, 
.
Тогда согласно условию
Это равенство выполняется при 
.
Зануляет саму функцию. Рассматриваем 
.
Тогда 
.
Восстановим 
.
Используем условие Коши – Римана
Найдем частные производные функции .
, 
.
Тогда по условию Коши – Римана
.
.
Снова используем условие Коши – Римана
,
.
Получим 
.
Ответ: .
Задание 4.
Дана функция и множество 
.
1) Изобразить множество на комплексной плоскости.
2) Найти образ 
множества при отображении 
(описать множество 
С помощью неравенств) и изобразить его на комплексной плоскости.
, 
Решение.
1) Изобразим множество
Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке 
и радиусами 2 и 3, причем окружность радиусом 2 не входит в область, а окружность радиусом 3 входит.
Второму неравенству соответствует угол между лучами 
и 
.
Луч не входит в область, входит.
2)
А) 
Область остается неизменной.
Б) 
- коэффициент растяжения функции.
Тогда получим область
В)
. Это есть перенос на (-2+i).
Получим искомую область Е/:
Задание 5.
Дана функция И точка 
.
1) Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана (ряд Тейлора) по степеням 
. Указать области, в которых справедливы полученные разложения.
2) Определить, является ли точка изолированной особой точкой функции . Если да, то, используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
3) Используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки 
, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
, 
.
Решение.
1) Представим дробь 
в виде суммы простых дробей, т. е. 
.
Найдем коэффициенты A, B и С.
,
,
Получили 
.
У функции три особые точки 
, 
И 
.
Получим три кольца с центром в точке (совпадает с особой точкой), в каждой из которой функция является аналитической:
I)
;
II)
;
III)
.
А) Преобразуем дроби к нужному виду
,
.
Используем разложение 
, 
.
Значит при 
и при 
, т. е. при и 
При можно получить разложения полученных выражений в ряд:
Аналогично,
.
Значит, в кольце Получим первое разложение в ряд Лорана:
.
Б) При 
и при 
Полученные ряды расходятся.
Представим функции по-другому:
,
.
Используем разложение , .
Причем полученные ряды сходятся при 
и при 
,т. е. при и при .
Тогда в кольцах и Получим разложение функции В ряд Лорана
.
2) Точка не является изолированной особой точкой функции .
Вычет в этой точке равен 0.
3) Точка является устранимой особой точкой. Вычет в этой точке равен 0.
Задание 6.
Дана функция и дано число .
1) Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .
2) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
3) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
, .
Решение.
1) Функция аналитическая при всех 
.
В этой области воспользуемся разложением функции 
.
Тогда
.
2) Точка является существенно особой. Вычет в этой точке равен ∞.
3) Точка не является устранимой особой точкой, так как
Вычет в этой точке равен 
.
Задание 7.
Найти интеграл 
с помощью вычетов. Кривая Г ориентирована против часовой стрелки.
, 
.
Решение.
Функция имеет особые точки 
.
Проверяем, какие из них принадлежат исходной области:
Получается, что в круге 
лежат обе особые точки .
Так как - полюс первого порядка, то интеграл равен
,
Так как 
- полюс второго порядка, то интеграл равен
Ответ: 
.
Задание 8.
Найти несобственный интеграл 
с помощью вычетов.
, 
.
Решение.
Рассмотрим функцию 
.
Она имеет два полюса: 
и 
.
Вычислим вычеты:
,
.
Тогда интеграл равен
Ответ: 
.
Задание 9.
Используя теорему Руше, найти число нулей функции 
в области 
(каждый нуль считается столько раз, какова его кратность).
, 
.
Решение.
Пусть 
, где 
и 
.
При 
, имеем 
, 
, т. е. 
.
По теореме Руше все шесть нулей функции лежат в круге 
.
Определим, сколько из них имеют модуль меньше 1.
Пусть 
, где 
и 
.
При 
, имеем 
, 
, т. е. 
.
По теореме Руше четыре нуля функции Лежит в круге 
.
Значит, в области содержится два нуля.
Ответ: 2 нуля.
Задание 10.
С помощью вычетов найти оригинал 
изображения 
. Сделать проверку (найти изображение функции , используя таблицу стандартных изображений и свойства преобразования Лапласа и убедиться, что оно равно )
.
Решение.
.
Рассмотрим функцию 
.
Найдем корни уравнения 
,
, 
, 
- это особые точки второго порядка для данной функции.
Найдем вычеты в особых точках
,
,
.
Тогда
.
Оригинал равен 
.
Проверим по таблице основные оригиналы и изображения:
, 
, 
.
Тогда
. Следовательно, оригинал найден верно.
Ответ: .